指数分布計算機
事象間の時間モデリング用のPDFとCDFで指数分布確率を計算します
レートパラメータλ > 0は単位時間あたりの平均事象数を表します
オプション：PDFとCDFを計算する時間値を入力
結果
値を入力して計算をクリックして結果を表示してください。
Theory & Formula
理論
指数分布は、事象が一定の平均レートλで連続的かつ独立して発生するポアソン過程での事象間の時間をモデル化します。信頼性工学、待ち行列理論、生存分析で広く使用されています。
確率密度関数（PDF）
\(f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{for } x \geq 0 \\ 0 & \text{for } x < 0 \end{cases}\)
累積分布関数（CDF）
\(F(x; \lambda) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x} & \text{for } x \geq 0 \\ 0 & \text{for } x < 0 \end{cases}\)
性質
\(\text{Mean: } \mu = \frac{1}{\lambda}\)\(\text{Variance: } \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}\)\(\text{Standard Deviation: } \sigma = \frac{1}{\lambda}\)\(\text{Median: } \frac{\ln(2)}{\lambda}\)
無記憶性
指数分布は独特な無記憶性を持ちます：次のt時間単位内に事象が発生する確率は、既に経過した時間の長さに依存しません。
\(P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\)
例
顧客がλ = 0.5/分のレートで到着する場合、到着間の平均時間は1/0.5 = 2分です。次の顧客が3分以内に到着する確率はF(3) = 1 - e^(-0.5×3) ≈ 0.777または77.7%です