指数分布計算機
イベント間の時間をモデル化するためのPDFおよびCDFを用いた指数分布確率の計算
レートパラメータ λ > 0 は単位時間あたりの平均イベント数を表します
任意：PDFおよびCDFを計算するための時間値を入力してください
結果
値を入力して、計算をクリックすると結果が表示されます。
理論と公式
理論
指数分布はポアソン過程における事象間の時間をモデル化します。ここで事象は一定の平均レート λ で連続的かつ独立に発生します。信頼性工学、待ち行列理論、生存分析で広く用いられています。
確率密度関数（PDF）
\(f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{for } x \geq 0 \\ 0 & \text{for } x < 0 \end{cases}\)
累積分布関数（CDF）
\(F(x; \lambda) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x} & \text{for } x \geq 0 \\ 0 & \text{for } x < 0 \end{cases}\)
性質
\(\text{Mean: } \mu = \frac{1}{\lambda}\)\(\text{Variance: } \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}\)\(\text{Standard Deviation: } \sigma = \frac{1}{\lambda}\)\(\text{Median: } \frac{\ln(2)}{\lambda}\)
無記憶性
指数分布は特有の無記憶性を持ちます：次の t 時間単位内に事象が発生する確率は、すでに経過した時間に依存しません。
\(P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\)
例
顧客が1分あたりλ = 0.5の割合で到着する場合、到着間隔の平均時間は1/0.5 = 2分です。次の顧客が3分以内に到着する確率はF(3) = 1 - e^(-0.5×3) ≈ 0.777、つまり77.7%です。