回転体の体積計算機
円盤法および円筒法を用いて軸の周りに曲線を回転させてできる立体の体積を計算します
例： sqrt(x) を 0 から 4 まで、x^2 を 0 から 2 まで
結果
値を入力して、計算をクリックすると結果が表示されます。
理論と公式
回転体の体積
曲線を軸の周りに回転させると、三次元の立体が形成されます。体積は円盤法またはシェル法を用いて計算できます。
円盤法
関数 f(x) と x軸に囲まれた領域を回転させるときに使用します。各断面は円板です。
\(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx\)ワッシャー法
2つの関数の間の領域を回転させるときに使用します。各断面はワッシャー（穴のあいた円板）です。
\(V = \pi \int_a^b ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) \, dx\)シェル法
垂直軸の周りに回転させるときに使用します。各シェルの半径は x、高さは f(x) です。
\(V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx\)例
y = √x を x=0 から x=4 まで x軸の周りに回転させたときの体積を求めよ：
\(f(x) = \sqrt{x}, \quad [0, 4]\)\(V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx\)\(V = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi \approx 25.13\)