放物線でのべき乗則
\(\int_0^2 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.667\)
積分計算機
ステップバイステップの解法で不定積分および定積分を計算します
定積分を探検しよう
x の関数を入力するかプリセットを選び、下端 (a) と上端 (b) のスライダーを動かそう。f(x) の下の影は符号付きの面積で、F(b) − F(a) に等しい。
0.00
-10.0010.00
2.00
-10.0010.00
対応: 多項式、線形引数の sin/cos/exp、1/x。変数には x を使う。
よくある積分
何が起こるか予想してみよう
∫ₐᵇ f(x) dx で a と b を入れ替えるとどうなる?
放物線プリセットで a = 2, b = 0 と a = 0, b = 2 を試してみよう。
符号付き面積
積分は曲線と x 軸の間の符号付き面積。x 軸より下の領域は負に寄与する。f(x) が [a, b] で常に正なら、積分は幾何学的な面積に等しい。
よくある誤り
不定積分では積分定数 C を忘れずに。定積分では C は打ち消されるので F(b) − F(a) は C に依らない。
なぜ成り立つの (微積分学の基本定理)
微積分学の基本定理は微分と積分を結ぶ: F'(x) = f(x) なら ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)。積分は変化を蓄積し、微分は変化率を測る。
結果
最終答え
\(\int_{0}^{2} x ^ 2 \,dx = 2.666667\)
ステップバイステップの解法
- 定積分: \(\int_{0}^{2} x ^ 2 \,dx\)
- 項ごとに不定積分を求める:
- ∫ \(x ^ 2\) dx = \(x ^ 3 / 3\)
- 不定積分: \(F(x) = x ^ 3 / 3 + C\)
- 微積分学の基本定理を適用: \(F(2) - F(0) = 2.666667 - (0) = 2.666667\)
不定積分: \(\int x ^ 2 \,dx = x ^ 3 / 3 + C\)
理論と公式
積分は微分の逆操作です。関数の原始関数を求め、曲線の下の面積を表します。
微積分学の基本定理: \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
F が [a, b] における f の不定積分なら、∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)。微分は積分を打ち消し、積分は微分が測る変化を累積する。
\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
解説付き例題
半周期にわたる正弦
\(\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = -\cos(x)\Big|_0^{\pi} = 2\)