べき乗則
\(\frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2\)
微分計算機
ステップバイステップの解法とルールで微分を計算します
導関数を探検しよう
x の関数を入力するかプリセットを選ぼう。青曲線は f(x)、緑曲線は f'(x)、赤い接線はスライダーの x 値に固定される。
1.00
-5.005.00
変数として x を使う。例: x^3 - 3*x, sin(x), exp(x), 1/x。
よくある関数
何が起こるか予想してみよう
x³ − 3x で f'(x) が 0 になるのはどこ?
f'(x) = 3x² − 3 を 0 にして解こう。
x₀ における接線
(x₀, f(x₀)) を通り傾き f'(x₀) の赤い線は、x₀ 付近における f の最良の線形近似。第 2 点を x₀ に近づけたときの割線の極限がこの接線。
よくある誤り
関数 f(x) (青) と導関数 f'(x) (緑) を混同しないこと。青が急な所は緑が 0 から離れ、青が平らな所は緑が 0 を横切る。
なぜ成り立つの
f'(x₀) は差分商 (f(x₀+h) − f(x₀)) / h の h → 0 における極限として定義される。接線は局所的にこの線形な挙動で曲線を置き換えている。
結果
最終答え
\(f'(x) = 3 * x ^ 2 - 3\)
ステップバイステップの解法
- 関数 \(f(x) = x ^ 3 - 3 * x\)
- 結果を組み合わせる \(f'(x) = 3 * x ^ 2 - 3\)
- x = 1 で, \(f(1) = -2\), \(f'(1) = 0\)
理論と公式
導関数は、与えられた点での関数の変化率を測定します。その点での関数の接線の傾きを表します。
代表的な微分公式：
- べき乗則: \(\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}\)
- 定数則: \(\frac{d}{dx}[c] = 0\)
- 和の則: \(\frac{d}{dx}[f + g] = f' + g'\)
- 積の則: \(\frac{d}{dx}[fg] = f'g + fg'\)
- 三角関数: \(\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x\)
- 指数関数: \(\frac{d}{dx}[e^x] = e^x\)
解説付き例題
三角関数
\(\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x\)
指数関数
\(\frac{d}{dx}[e^x] = e^x\)
外部の教育リソース
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