正弦（マクローリン）
\(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\)
テイラー級数
関数のテイラー級数およびマクローリン級数展開を求めます
結果
値を入力して、計算をクリックすると結果が表示されます。
理論と公式
テイラー級数は、関数を一点におけるその関数の導関数から計算される項の無限和として表します。x = 0 を中心とする場合、これをマクローリン級数と呼びます。
重要な性質：
- 多項式近似：テイラー級数は滑らかな関数を多項式で近似します:
- 収束：級数は収束半径内で収束します:
- 誤差項：剰余 R_n = f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!（ある c は a と x の間にある）:
- 応用：数値解析、物理学、工学における近似に使用される:
- 代表的な級数：sin(x)、cos(x)、e^x、ln(1+x)、(1+x)^n はすべて単純なテイラー展開を持ちます:
\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\)
解説付き例題
余弦（マクローリン）
\(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\)
指数関数（マクローリン）
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
自然対数
\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\)