高階導関数
2階、3階、およびそれ以上の高階導関数を計算します
結果
値を入力して、計算をクリックすると結果が表示されます。
理論と公式
高階導関数は変化率の変化率を表します。二階導関数は凹凸を測定し、三階導関数は凹凸の変化率を測定し、以下同様です。
表記法
高階導関数には複数の表記法があります：
二階微分（凹凸性）:
\(f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)\)三階微分（物理学におけるジャーク）:
\(f'''(x) = \frac{d^3f}{dx^3}\)n階微分:
\(f^{(n)}(x) = \frac{d^nf}{dx^n}\)応用
- 位置の二階微分は物理学で加速度を表す
- 二階微分は関数の凹凸性を決定する（正なら上に凸）
- 三階微分は変曲点の検出に役立つ
- 高階微分はテイラー級数展開に用いられる
例
f(x) = x⁴ の場合：
\(f(x) = x^4\)\(f'(x) = 4x^3\)\(f''(x) = 12x^2\)\(f'''(x) = 24x\)\(f^{(4)}(x) = 24\)\(f^{(5)}(x) = 0\)