MathCalcLab

Calculateur de loi exponentielle

Calculez les probabilités de la loi exponentielle (densité et fonction de répartition) pour modéliser le temps entre les événements

Le paramètre de taux λ > 0 représente le nombre moyen d'événements par unité de temps

Optionnel : Entrez une valeur de temps pour calculer la densité et la fonction de répartition

Résultats

Entrez les valeurs et cliquez sur Calculer pour voir le résultat.

Théorie et formule

Théorie

La loi exponentielle modélise le temps entre les événements dans un processus de Poisson, où les événements se produisent de manière continue et indépendante à un taux moyen constant λ. Elle est largement utilisée en ingénierie de la fiabilité, en théorie des files d'attente et en analyse de survie.

Fonction de densité de probabilité

\(f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}\)

Fonction de répartition

\(F(x; \lambda) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}\)

Propriétés

Moyenne (μ): \(\mu = \frac{1}{\lambda}\)

Variance (σ²): \(\sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}\)

Écart type (σ): \(\sigma = \frac{1}{\lambda}\)

Médiane: \(\frac{\ln(2)}{\lambda}\)

Propriété sans mémoire

La loi exponentielle possède une propriété unique d'absence de mémoire : la probabilité qu'un événement se produise dans les t prochaines unités de temps est indépendante du temps déjà écoulé.

\(P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\)

Exemple

Si les clients arrivent à un taux de λ = 0,5 par minute, le temps moyen entre les arrivées est de 1/0,5 = 2 minutes. La probabilité que le prochain client arrive dans les 3 minutes est F(3) = 1 - e^(-0,5×3) ≈ 0,777 ou 77,7 %

Calculatrices associées

Calculateur de loi de Poisson

Calculez les probabilités de la loi de Poisson (fonction de masse et fonction de répartition) avec visualisation pour modéliser des événements rares.

Calculateur de loi uniforme

Calculer les probabilités pour une loi uniforme continue avec visualisation de la densité et de la fonction de répartition

Loi normale

Calculer les probabilités et les scores z de la loi normale

Calculateur de loi exponentielle | MathCalcLab | MathCalcLab