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Calculateur de volume de révolution

Calculez les volumes des solides formés par la rotation de courbes autour d'axes en utilisant les méthodes des disques et des cylindres

Exemples : sqrt(x), x^2, sin(x), exp(x). Utilisez ln(x) pour le logarithme naturel et log(x) pour la base 10. Les rayons des rondelles doivent vérifier 0 ≤ r(x) ≤ R(x) ; les coquilles exigent x ≥ 0 et f(x) ≥ 0 sur tout l’intervalle.

Résultats

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Théorie et formule

Volume de révolution

Lorsqu'une courbe tourne autour d'un axe, elle forme un solide tridimensionnel. Le volume peut être calculé en utilisant la méthode des disques ou la méthode des cylindres.

Méthode des disques

Utilisée lorsque l'on fait tourner une région délimitée par f(x) et l'axe des x. Chaque section transversale est un disque.

\(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx\)

Méthode des rondelles

Utilisée lorsque l'on fait tourner une région entre deux fonctions. Chaque section transversale est une rondelle (disque avec un trou).

\(V = \pi \int_a^b ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) \, dx\)

Méthode des cylindres

Utilisée lorsque l'on fait tourner autour d'un axe vertical. Chaque coquille a un rayon x et une hauteur f(x).

\(V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx\)

Exemple

Trouver le volume lorsque y = √x de x=0 à x=4 est tourné autour de l'axe des x :

\(f(x) = \sqrt{x}, \quad [0, 4]\)\(V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx\)\(V = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi \approx 25.13\)

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