Règle de la puissance sur une parabole
\(\int_0^2 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.667\)
Calculateur d'intégrales
Calculez des intégrales indéfinies et définies avec des solutions étape par étape
Explorer l'intégrale définie
Saisissez une fonction en x ou choisissez un préréglage, puis faites glisser les bornes inférieure (a) et supérieure (b). La zone hachurée sous f(x) est l'aire signée, égale à F(b) − F(a).
0.00
-10.0010.00
2.00
-10.0010.00
Sont pris en charge : polynômes, sin/cos/exp avec arguments linéaires, et 1/x. Utilisez x comme variable. ln(x) est le logarithme népérien ; log(x) est le logarithme décimal.
Intégrales courantes
Prédisez ce qui va se passer
Que se passe-t-il pour ∫ₐᵇ f(x) dx si vous inversez a et b ?
Essayez a = 2, b = 0 avec le préréglage parabole, puis a = 0, b = 2.
Aire signée
L'intégrale est l'aire SIGNÉE entre la courbe et l'axe des x : les régions sous l'axe contribuent négativement. Si f(x) est toujours positif sur [a, b], l'intégrale est l'aire géométrique.
Erreur courante
N'oubliez pas la constante d'intégration C pour les intégrales indéfinies. Pour les définies, C s'élimine — F(b) − F(a) ne dépend pas de C.
Pourquoi cela fonctionne (théorème fondamental)
Le théorème fondamental de l'analyse relie la dérivation et l'intégration : si F'(x) = f(x), alors ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). L'intégration accumule le changement ; la dérivation en mesure le taux.
Résultats
Réponse finale
\(\int_{0}^{2} { x}^{2} \,dx = 2.666667\)
Solution étape par étape
- Intégrale définie : \(\int_{0}^{2} { x}^{2} \,dx\)
- Trouver la primitive terme par terme :
- Primitive : \(F(x) = \frac{{ x}^{3}}{3} + C\)
- Appliquer le théorème fondamental de l'analyse : \(F(2) - F(0) = 2.666667 - (0) = 2.666667\)
Primitive indéfinie : \(\int { x}^{2} \,dx = \frac{{ x}^{3}}{3} + C\)
Théorie et formule
L'intégration est le processus inverse de la dérivation. Elle trouve la primitive d'une fonction, représentant l'aire sous une courbe.
Théorème fondamental de l'analyse: \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Si F est une primitive de f sur [a, b], alors ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). La dérivation défait l'intégration ; l'intégration accumule le changement mesuré par la dérivée.
\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Exemples résolus
Sinus sur une demi-période
\(\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = -\cos(x)\Big|_0^{\pi} = 2\)
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