Sinus (Maclaurin)
\(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\)
Séries de Taylor
Trouvez les développements en séries de Taylor et Maclaurin des fonctions
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Théorie et formule
Une série de Taylor représente une fonction comme une somme infinie de termes calculés à partir des dérivées de la fonction en un point. Lorsqu'elle est centrée en x = 0, on l'appelle série de Maclaurin.
Propriétés clés :
- Approximation polynomiale : Les séries de Taylor approchent les fonctions lisses à l'aide de polynômes
- Convergence : La série converge dans le rayon de convergence
- Terme d'erreur : Reste R_n = f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)! pour un certain c entre a et x
- Applications : Utilisée en analyse numérique, en physique, en ingénierie pour les approximations
- Séries courantes : sin(x), cos(x), e^x, ln(1+x), (1+x)^n ont toutes des développements de Taylor simples
\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\)
Exemples résolus
Cosinus (Maclaurin)
\(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\)
Exponentielle (Maclaurin)
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
Logarithme naturel
\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\)
Calculatrices associées
Calculatrice de dérivées
Calculez les dérivées des fonctions avec des solutions étape par étape en utilisant les règles de dérivation
Calculatrice de séries
Calculez des séries infinies, y compris arithmétiques, géométriques et personnalisées avec des solutions étape par étape
Calculateur de limites
Calculez les limites des fonctions en des points spécifiques ou à l'infini avec des solutions étape par étape