Dérivées d'ordre supérieur
Calculez les dérivées secondes, troisièmes et d'ordre supérieur
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Théorie & Formule
Les dérivées d'ordre supérieur représentent le taux de variation du taux de variation. La deuxième dérivée mesure la concavité, la troisième dérivée mesure le taux de variation de la concavité, et ainsi de suite.
Notation
Plusieurs notations existent pour les dérivées d'ordre supérieur :
Dérivée seconde (concavité):
\(f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)\)Dérivée troisième (secousse en physique):
\(f'''(x) = \frac{d^3f}{dx^3}\)Dérivée n-ième:
\(f^{(n)}(x) = \frac{d^nf}{dx^n}\)Applications
- La dérivée seconde de la position donne l'accélération en physique
- La dérivée seconde détermine la concavité des fonctions (positive = concave vers le haut)
- La dérivée troisième aide à trouver les points d'inflexion
- Les dérivées supérieures sont utilisées dans les développements en série de Taylor
Exemple
Pour f(x) = x⁴ :
\(f(x) = x^4\)\(f'(x) = 4x^3\)\(f''(x) = 12x^2\)\(f'''(x) = 24x\)\(f^{(4)}(x) = 24\)\(f^{(5)}(x) = 0\)