Kolikonheittoesimerkki
\(n=10, p=0.5, k=7 \rightarrow P(7) \approx 11.7\%\)
Binomijakauma
Laske binomijakauman todennäköisyydet ja kumulatiiviset todennäköisyydet
Tutki binomijakaumaa
Liu'uta n (yritykset), p (onnistumisen todennäköisyys) ja k (korostettava lopputulos). Pylväs k:n kohdalla muuttuu vihreäksi, muut pysyvät harmaina.
Pikavalinnat
10
150
0.50
0.001.00
5
010
Ennusta, mitä tapahtuu
Miltä pylväskaavio näyttää, kun p ≈ 0,5 verrattuna p ≈ 0,05 samalla n:llä?
Vaihda esiasetusten 'Reilu kolikko' ja 'Harvinainen tapahtuma' välillä ja katso muotoa.
Huomaa
Keskiarvo on np: kun p = 0,5 ja n = 10, huippu on k = 5:ssä; kun p = 0,7 ja n = 20, huippu siirtyy noin 14:een. Varianssi kasvaa n:n mukana ja on suurin p = 0,5 kohdalla.
Yleinen virhe
P(X = k) ei ole sama kuin P(X ≤ k). Kaavio näyttää PMF:n (tasan k); kertymäfunktio summaa pylväät 0:sta k:hon.
Miksi se toimii
Jokainen yritys on riippumaton Bernoulli-veto. Kertomalla p^k:lla luvulla (1 − p)^(n − k) saadaan yhden tietyn jonon todennäköisyys; binomikerroin laskee, kuinka monta jonoa antaa tasan k onnistumista.
Käsitetarkistus
Mikä näistä tilanteista sopii oikeasti binomimalliin?
Tulokset
Lopullinen vastaus
\(P(X = 5) = 24.61\%\)
Vaiheittainen ratkaisu
- Annettuna: \(n = 10\), \(p = 0.50\), \(k = 5\)
- Binomikerroin: \(\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!\,(10-5)!} = 252\)
- Binomi-PMF: \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}\)
- Sijoita ja laske: \(P(X=5) = 252 \times 0.50^{5} \times 0.50^{5} = 0.246094\)
P(X ≤ 5)
62.30%
P(X ≥ 5)
62.30%
Keskiarvo / σ
μ = 5.00, σ = 1.58
Binomijakauma
Binomijakauma laskee onnistumisten määrän kiinteässä määrässä n riippumatonta Bernoulli-yritystä, joista jokaisella on sama onnistumisen todennäköisyys p.
Pätee, kun kaikki neljä ehtoa täyttyvät:
- Kiinteä yritysmäärä n.
- Kullakin yrityksellä on vain kaksi tulosta (onnistuminen / epäonnistuminen).
- Kaikki yritykset ovat riippumattomia.
- Onnistumisen todennäköisyys p on sama jokaisessa yrityksessä.
Jakauman parametrit: \(\mu = np\), \(\sigma^2 = np(1-p)\), \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
Laskettuja esimerkkejä
Laadunvalvonnan esimerkki
\(n=20, p=0.1, k=2 \rightarrow P(2) \approx 28.5\%\)