Kiertymätilavuuden laskin
Laske kiertymätilavuudet, jotka muodostuvat käyrien pyörähtäessä akselien ympäri levy- ja kuorimenetelmillä
Esimerkkejä: sqrt(x) välillä 0–4, x^2 välillä 0–2
Tulokset
Syötä arvot ja napsauta Laske nähdäksesi tuloksen.
Teoria ja kaava
Kiertymätilavuus
Kun käyrä pyöritetään akselin ympäri, siitä muodostuu kolmiulotteinen kappale. Tilavuus voidaan laskea levymenetelmällä tai putkimenetelmällä.
Levymenetelmä
Käytetään, kun pyöritetään aluetta, joka on rajattu funktiolla f(x) ja x-akselilla. Jokainen poikkileikkaus on levy.
\(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx\)Rengasmenetelmä
Käytetään, kun pyöritetään aluetta kahden funktion välillä. Jokainen poikkileikkaus on rengas (reikälevy).
\(V = \pi \int_a^b ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) \, dx\)Putkimenetelmä
Käytetään, kun pyöritetään pystyakselin ympäri. Jokaisella kuorella on säde x ja korkeus f(x).
\(V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx\)Esimerkki
Laske tilavuus, kun y = √x välillä x=0 ja x=4 pyöritetään x-akselin ympäri:
\(f(x) = \sqrt{x}, \quad [0, 4]\)\(V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx\)\(V = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi \approx 25.13\)