MathCalcLab
Kieli

Kiertymätilavuuden laskin

Laske kiertymätilavuudet, jotka muodostuvat käyrien pyörähtäessä akselien ympäri levy- ja kuorimenetelmillä

Esimerkkejä: sqrt(x) välillä 0–4, x^2 välillä 0–2

Tulokset

Syötä arvot ja napsauta Laske nähdäksesi tuloksen.

Teoria ja kaava

Kiertymätilavuus

Kun käyrä pyöritetään akselin ympäri, siitä muodostuu kolmiulotteinen kappale. Tilavuus voidaan laskea levymenetelmällä tai putkimenetelmällä.

Levymenetelmä

Käytetään, kun pyöritetään aluetta, joka on rajattu funktiolla f(x) ja x-akselilla. Jokainen poikkileikkaus on levy.

\(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx\)

Rengasmenetelmä

Käytetään, kun pyöritetään aluetta kahden funktion välillä. Jokainen poikkileikkaus on rengas (reikälevy).

\(V = \pi \int_a^b ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) \, dx\)

Putkimenetelmä

Käytetään, kun pyöritetään pystyakselin ympäri. Jokaisella kuorella on säde x ja korkeus f(x).

\(V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx\)

Esimerkki

Laske tilavuus, kun y = √x välillä x=0 ja x=4 pyöritetään x-akselin ympäri:

\(f(x) = \sqrt{x}, \quad [0, 4]\)\(V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx\)\(V = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi \approx 25.13\)

Aiheeseen liittyvät laskimet

Määrätty integraalilaskin

Laske määrättyjä integraaleja numeerisesti Riemannin summan visualisoinnilla ja käyrän alle jäävän pinta-alan laskennalla

Integraattori

Laske määritellyt ja määrittelemättömät integraalit vaihe vaiheelta

Derivaatta-laskin

Laske funktioiden derivaatat vaihe vaiheelta käyttäen differentiaalisääntöjä

Kiertymätilavuuden laskin | MathCalcLab | MathCalcLab