MathCalcLab

Pyörähdyskappaleen tilavuuden laskin

Laske pyörähdyskappaleiden tilavuudet, jotka muodostuvat käyrien pyörähtäessä akselien ympäri levy- ja kuorimenetelmillä

Esimerkkejä: sqrt(x), x^2, sin(x), exp(x). Luonnollinen logaritmi on ln(x) ja kymmenkantainen logaritmi log(x). Renkaiden säteille on pädettävä 0 ≤ r(x) ≤ R(x); kuorimenetelmä edellyttää koko välillä x ≥ 0 ja f(x) ≥ 0.

Tulokset

Syötä arvot ja napsauta Laske nähdäksesi tuloksen.

Teoria ja kaava

Pyörähdyskappaleen tilavuus

Kun käyrä pyöritetään akselin ympäri, siitä muodostuu kolmiulotteinen kappale. Tilavuus voidaan laskea levymenetelmällä tai kuorimenetelmällä.

Levymenetelmä

Käytetään, kun pyöritetään aluetta, joka on rajattu funktiolla f(x) ja x-akselilla. Jokainen poikkileikkaus on levy.

\(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx\)

Rengasmenetelmä

Käytetään, kun pyöritetään aluetta kahden funktion välillä. Jokainen poikkileikkaus on rengas (reikälevy).

\(V = \pi \int_a^b ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) \, dx\)

Kuorimenetelmä

Käytetään, kun pyöritetään pystyakselin ympäri. Jokaisella kuorella on säde x ja korkeus f(x).

\(V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx\)

Esimerkki

Laske tilavuus, kun y = √x välillä x=0 ja x=4 pyöritetään x-akselin ympäri:

\(f(x) = \sqrt{x}, \quad [0, 4]\)\(V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx\)\(V = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi \approx 25.13\)

Aiheeseen liittyvät laskimet

Määrätyn integraalin laskin

Laske määrättyjä integraaleja numeerisesti Riemannin summan visualisoinnilla ja käyrän alle jäävän pinta-alan laskennalla

Integraalilaskin

Laske määrätyt ja määräämättömät integraalit vaihe vaiheelta

Derivointilaskin

Laske funktioiden derivaatat vaihe vaiheelta käyttäen derivointisääntöjä

Pyörähdyskappaleen tilavuuden laskin | MathCalcLab | MathCalcLab