Potenssisääntö
\(\frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2\)
Derivointilaskin
Laske derivaatat vaihe vaiheelta ratkaisujen ja sääntöjen avulla
Tutki derivaattaa
Anna funktio x:ssä tai valitse esiasetus. Sininen käyrä on f(x), vihreä on f'(x), ja punainen tangentti on ankkuroitu liukusäätimen x-arvoon.
1.00
-5.005.00
Käytä x:ää muuttujana. Esimerkkejä: x^3 - 3*x, sin(x), exp(x), 1/x.
Tavallisia funktioita
Ennusta, mitä tapahtuu
Missä f'(x) on nolla, kun f(x) = x³ − 3x?
f'(x) = 3x² − 3. Aseta nollaksi ja ratkaise.
Tangentti x₀:ssa
Punainen suora pisteen (x₀, f(x₀)) kautta kulmakertoimella f'(x₀) on f:n paras lineaarinen approksimaatio x₀:n lähellä. Se on sekanttien raja, kun toinen piste liukuu kohti x₀:aa.
Yleinen virhe
Älä sekoita funktiota f(x) (sininen) ja derivaattaa f'(x) (vihreä). Missä sininen käyrä on jyrkkä, vihreä on kaukana nollasta; missä sininen on tasainen, vihreä leikkaa nollan.
Miksi se toimii
f'(x₀) on määritelmänsä mukaan erotusosamäärän (f(x₀+h) − f(x₀)) / h raja-arvo h → 0. Tangentti korvaa käyrän paikallisesti tällä lineaarisella käytöksellä.
Tulokset
Lopullinen vastaus
\(f'(x) = 3 * x ^ 2 - 3\)
Vaiheittainen ratkaisu
- Funktio \(f(x) = x ^ 3 - 3 * x\)
- Yhdistä tulokset \(f'(x) = 3 * x ^ 2 - 3\)
- Pisteessä x = 1, \(f(1) = -2\), \(f'(1) = 0\)
Teoria ja kaava
Derivaatta mittaa funktion muutosnopeutta missä tahansa pisteessä. Se kuvaa funktion tangentin kulmakerrointa kyseisessä pisteessä.
Yleiset derivointisäännöt:
- Potenssisääntö: \(\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}\)
- Vakiosääntö: \(\frac{d}{dx}[c] = 0\)
- Summasääntö: \(\frac{d}{dx}[f + g] = f' + g'\)
- Tulon derivointisääntö: \(\frac{d}{dx}[fg] = f'g + fg'\)
- Trigonometrinen: \(\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x\)
- Eksponentiaalinen: \(\frac{d}{dx}[e^x] = e^x\)
Laskettuja esimerkkejä
Trigonometrinen
\(\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x\)
Eksponentiaalinen
\(\frac{d}{dx}[e^x] = e^x\)
Ulkoinen oppimateriaali
Avaa GeoGebran graafinen laskin
Haluatko piirtää funktion, jota emme sievennä symbolisesti (esim. tan, tulot, yhdistetyt funktiot)? GeoGebran ilmainen graafinen laskin osaa sen ja antaa raahata pisteitä käyrää pitkin.
GeoGebra (geogebra.org)