Esimerkki 1
\(f(x,y) = xy \to \frac{\partial f}{\partial x} = y, \frac{\partial f}{\partial y} = x\)
Osittaisderivaatat
Laske monimuuttujaisten funktioiden osittaisderivaatat
Tulokset
Syötä arvot ja napsauta Laske nähdäksesi tuloksen.
Teoria ja kaava
Osittaisderivaatat mittaavat, miten monimuuttujainen funktio muuttuu yhden muuttujan suhteen, kun muut pidetään vakioina.
- \(\frac{\partial f}{\partial x}\): f:n osittaisderivaatta x:n suhteen — muutosnopeus x-suunnassa, kun y pidetään kiinteänä.
- \(\frac{\partial f}{\partial y}\): f:n osittaisderivaatta y:n suhteen — muutosnopeus y-suunnassa, kun x pidetään kiinteänä.
- Gradientti: \(\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})\) on osittaisderivaattojen vektori, joka osoittaa jyrkimmän nousun suuntaan.
- Sovellukset: optimointi, gradienttilasku, monimuuttujalaskenta, fysiikka (sähkömagnetismi, virtausdynamiikka) ja koneoppiminen.
\(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\)
Laskettuja esimerkkejä
Esimerkki 2
\(f(x,y) = x^2y \to \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy, \frac{\partial f}{\partial y} = x^2\)
Esimerkki 3
\(f(x,y) = x^3y^2 \to \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y\)