Potenssisääntö paraabelilla
\(\int_0^2 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.667\)
Integraalilaskin
Laske määrittelemättömät ja määritetyt integraalit vaihe vaiheelta
Tutki määrättyä integraalia
Anna funktio x:ssä tai valitse esiasetus, vedä sitten alarajaa (a) ja ylärajaa (b). Käyrän f(x) alle jäävä varjostettu alue on etumerkitetty pinta-ala, joka on yhtä kuin F(b) − F(a).
0.00
-10.0010.00
2.00
-10.0010.00
Tuettu: polynomit, sin/cos/exp lineaarisilla argumenteilla ja 1/x. Käytä x:ää muuttujana.
Tavallisia integraaleja
Ennusta, mitä tapahtuu
Mitä tapahtuu, kun vaihdat a:n ja b:n integraalissa ∫ₐᵇ f(x) dx?
Kokeile paraabeli-esiasetuksella a = 2, b = 0, sitten a = 0, b = 2.
Etumerkitetty pinta-ala
Integraali on ETUMERKITETTY pinta-ala käyrän ja x-akselin välillä: x-akselin alle jäävät alueet vaikuttavat negatiivisesti. Jos f(x) on aina positiivinen välillä [a, b], integraali on geometrinen pinta-ala.
Yleinen virhe
Älä unohda integrointivakiota C määräämättömissä integraaleissa. Määrätyissä integraaleissa C kumoutuu — F(b) − F(a) on sama riippumatta C:stä.
Miksi se toimii (FTC)
Analyysin peruslause yhdistää derivoinnin ja integroinnin: jos F'(x) = f(x), niin ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Integrointi kokoaa muutoksen; derivointi mittaa muutosnopeuden.
Tulokset
Lopullinen vastaus
\(\int_{0}^{2} x ^ 2 \,dx = 2.666667\)
Vaiheittainen ratkaisu
- Määrätty integraali: \(\int_{0}^{2} x ^ 2 \,dx\)
- Etsi integraalifunktio termi kerrallaan:
- ∫ \(x ^ 2\) dx = \(x ^ 3 / 3\)
- Integraalifunktio: \(F(x) = x ^ 3 / 3 + C\)
- Käytä analyysin peruslausetta: \(F(2) - F(0) = 2.666667 - (0) = 2.666667\)
Määräämätön integraalifunktio: \(\int x ^ 2 \,dx = x ^ 3 / 3 + C\)
Teoria ja kaava
Integrointi on derivoinnin käänteisoperaatio. Se etsii funktion antiderivaatan, joka kuvaa käyrän alle jäävää pinta-alaa.
Analyysin peruslause: \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Jos F on f:n integraalifunktio välillä [a, b], niin ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Derivointi kumoaa integroinnin; integrointi kokoaa derivoinnin mittaaman muutoksen.
\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Laskettuja esimerkkejä
Sini puolelta jaksolta
\(\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = -\cos(x)\Big|_0^{\pi} = 2\)
Aiheeseen liittyvät laskimet
Derivaatta-laskin
Laske funktioiden derivaatat vaihe vaiheelta käyttäen differentiaalisääntöjä
Rajalaskin
Laske funktioiden rajat tietyissä pisteissä tai äärettömyydessä vaihe vaiheelta
Sarjalaskin
Laske äärettömiä sarjoja, mukaan lukien aritmeettiset, geometriset ja mukautetut sarjat vaihe vaiheelta ratkaisuineen