Aritmeettinen
\(1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\)
Sarjalaskin
Laske äärettömien sarjojen suppeneminen ja osasummat
Tulokset
Syötä arvot ja napsauta Laske nähdäksesi tuloksen.
Teoria ja kaava
Sarja on jonon termien summa. Eri sarjatyypeillä on erilaiset ominaisuudet ja kaavat summilleen.
Yleisiä sarjatyyppejä:
- Aritmeettinen: S_n = (n/2)(2a + (n−1)d), missä a on ensimmäinen termi ja d on yhteinen erotus
- Geometrinen: S_n = a(1−r^n)/(1−r), missä a on ensimmäinen termi ja r on yhteinen suhde
- Ääretön geometrinen: S = a/(1−r) ehdolla |r| < 1 (suppenee)
- Potenssisummat: ∑n = n(n+1)/2, ∑n² = n(n+1)(2n+1)/6
- Harmoninen sarja: ∑1/n hajaantuu (kasvaa rajatta)
\(S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i\)
Laskettuja esimerkkejä
Geometrinen
\(1 + r + r^2 + \cdots = \frac{1}{1-r}\) for \(|r| < 1\)
Potenssisumma
\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Aritmeettinen kaava
\(S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\)