Sini (Maclaurin)
\(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\)
Taylorin sarjat
Etsi funktioiden Taylorin ja Maclaurinin sarjakehitelmät
Tulokset
Syötä arvot ja napsauta Laske nähdäksesi tuloksen.
Teoria ja kaava
Taylorin sarja esittää funktion äärettömänä summana termeistä, jotka lasketaan funktion derivaatoista yhdessä pisteessä. Kun se keskittyy kohtaan x = 0, sitä kutsutaan Maclaurinin sarjaksi.
Keskeiset ominaisuudet:
- Polynomiapproksimaatio: Taylorin sarjat approksimoivat sileitä funktioita polynomeilla
- Suppeneminen: sarja suppenee suppenemissäteen sisällä
- Virhetermi: jäännös R_n = f^(n+1)(c)(x−a)^(n+1)/(n+1)! jollekin c välillä [a, x]
- Sovellukset: numeeriset menetelmät, fysiikka ja tekniikka approksimaatioissa
- Yleisiä sarjoja: sin(x), cos(x), e^x, ln(1+x) ja (1+x)^n omaavat yksinkertaiset Taylorin kehitelmät
\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\)
Laskettuja esimerkkejä
Kosini (Maclaurin)
\(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\)
Eksponenttifunktio (Maclaurin)
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
Luonnollinen logaritmi
\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\)
Aiheeseen liittyvät laskimet
Derivaatta-laskin
Laske funktioiden derivaatat vaihe vaiheelta käyttäen differentiaalisääntöjä
Sarjalaskin
Laske äärettömiä sarjoja, mukaan lukien aritmeettiset, geometriset ja mukautetut sarjat vaihe vaiheelta ratkaisuineen
Rajalaskin
Laske funktioiden rajat tietyissä pisteissä tai äärettömyydessä vaihe vaiheelta