Sini (Maclaurin)
\(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\)
Taylorin sarjat
Etsi funktioiden Taylorin ja Maclaurinin sarjakehitelmät
Tulokset
Syötä arvot ja napsauta Laske nähdäksesi tuloksen.
Teoria ja kaava
Taylorin sarja esittää funktion äärettömänä summana termeistä, jotka lasketaan funktion derivaatoista yhdessä pisteessä. Kun sarjan kehityspiste on x = 0, sitä kutsutaan Maclaurinin sarjaksi.
Keskeiset ominaisuudet:
- Polynomiapproksimaatio: Taylorin sarjat approksimoivat sileitä funktioita polynomeilla
- Suppeneminen: sarja suppenee suppenemissäteen sisällä
- Virhetermi: jäännös R_n = f^(n+1)(c)(x−a)^(n+1)/(n+1)! jollekin c välillä [a, x]
- Sovellukset: numeeriset menetelmät, fysiikka ja tekniikka approksimaatioissa
- Yleisiä sarjoja: funktioilla sin(x), cos(x), e^x, ln(1+x) ja (1+x)^n on yksinkertaiset Taylorin kehitelmät
\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\)
Laskettuja esimerkkejä
Kosini (Maclaurin)
\(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\)
Eksponenttifunktio (Maclaurin)
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
Luonnollinen logaritmi
\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\)
Aiheeseen liittyvät laskimet
Derivointilaskin
Laske funktioiden derivaatat vaihe vaiheelta käyttäen derivointisääntöjä
Sarjalaskin
Laske äärettömiä sarjoja, mukaan lukien aritmeettiset, geometriset ja mukautetut sarjat vaihe vaiheelta ratkaisuineen
Raja-arvolaskin
Laske funktioiden raja-arvot tietyissä pisteissä tai äärettömyydessä vaihe vaiheelta