Korkeamman asteen derivaatat
Laske toisen, kolmannen ja korkeamman asteen derivaatat
Tulokset
Syötä arvot ja napsauta Laske nähdäksesi tuloksen.
Teoria ja kaava
Korkeamman asteen derivaatat kuvaavat muutoksen muutoksen nopeutta. Toinen derivaatta mittaa käyryyttä, kolmas derivaatta mittaa käyryyden muutoksen nopeutta, ja niin edelleen.
Notaatio
Korkeamman asteen derivaattojen merkinnöille on useita vaihtoehtoja:
Toinen derivaatta (koveruus):
\(f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)\)Kolmas derivaatta (nykäys fysiikassa):
\(f'''(x) = \frac{d^3f}{dx^3}\)n:s derivaatta:
\(f^{(n)}(x) = \frac{d^nf}{dx^n}\)Sovellukset
- Paikan toinen derivaatta antaa kiihtyvyyden fysiikassa
- Toinen derivaatta määrää funktion koveruuden (positiivinen = kupera ylöspäin)
- Kolmas derivaatta auttaa löytämään käännepisteet
- Korkeampia derivaattoja käytetään Taylorin sarjan laajennuksissa
Esimerkki
Funktiolle f(x) = x⁴:
\(f(x) = x^4\)\(f'(x) = 4x^3\)\(f''(x) = 12x^2\)\(f'''(x) = 24x\)\(f^{(4)}(x) = 24\)\(f^{(5)}(x) = 0\)