Kuutioyhtälön ratkaisin
Ratkaise kuutioyhtälöitä ax³ + bx² + cx + d = 0 käyttäen Cardanon kaavaa todellisilla ja kompleksisilla juurilla
Kuutioyhtälön muoto: \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)
Tulokset
Syötä arvot ja klikkaa Laske nähdäksesi tuloksen.
Theory & Formula
Teoria
Kuutioyhtälö on kolmannen asteen polynomiyhtälö. Jokaisella kuutioyhtälöllä on täsmälleen kolme juurta (ottaen huomioon kertaluvut), jotka voivat olla kaikki todellisia tai yksi todellinen ja kaksi kompleksikonjugaattia. Diskriminantti määrittää juurten luonteen.
Diskriminantti
- • Kun Δ > 0: Kolme eri reaalista juurta
- • Kun Δ = 0: Vähintään kaksi juurta on yhtä suuria
- • Kun Δ < 0: Yksi reaalinen ja kaksi kompleksikonjugaattijuurta
Cardanon kaava
Cardanon kaava (nimetty Gerolamo Cardanon mukaan, 1500-luku) tarjoaa analyyttisen menetelmän kuutioyhtälöiden ratkaisemiseen. Menetelmä sisältää yleisen kuutioyhtälön muuntamisen "depressoituun kuutioon" (ilman x² termiä) ja sitten kaavan soveltamisen.
Esimerkki
Ratkaise x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
Ratkaisu: x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3 (kolme erilaista todellista juurta)