Kaksi reaalista nollakohtaa
\(x^2 - 5x + 6 = 0 \rightarrow x_1 = 3, x_2 = 2\)
Toisen asteen yhtälön ratkaisin
Ratkaise toisen asteen yhtälöt, joilla on reaaliset ja kompleksiset ratkaisut
Tutki paraabelia ax² + bx + c
Liu'uta säätimiä a, b, c. Katso, miten paraabeli siirtyy, skaalautuu ja kääntyy – ja miten sen nollakohdat ja huippu reagoivat.
Pikavalinnat
1.00
-3.003.00
-5.00
-10.0010.00
6.00
-10.0010.00
Ennusta, mitä tapahtuu
Mitä paraabelille tapahtuu, kun a muuttuu negatiiviseksi?
Liu'uta a arvosta 1 arvoon −1, kun b = 0, c = 4.
Huomaa
Kun a ≠ 0, diskriminantti Δ = b² − 4ac määrää juuret: positiivinen arvo antaa kaksi eri reaalijuurta, nolla kaksinkertaisen reaalijuuren ja negatiivisella arvolla reaalijuuria ei ole.
Yleinen virhe
Älä menetä etumerkkiä: kaavassa on −b, ei b. Merkki ± kuuluu neliöjuurelle, ei b:n eteen.
Miksi se toimii
Kun a ≠ 0, huippupiste on kohdassa x = −b/(2a). Kun Δ ≥ 0, jokaisen reaalijuuren etäisyys tästä akselista on √Δ/(2|a|).
Käsitetarkistus
Kun a ≠ 0 ja diskriminantti b² − 4ac on positiivinen, kuinka monta reaalijuurta yhtälöllä on?
Tulokset
Lopullinen vastaus
\(x_1 = 3.0000\), \(x_2 = 2.0000\)
Vaiheittainen ratkaisu
- Annettu yhtälö: \(1.0000x^2 -5.0000x + 6.0000 = 0\)
- Käytetään toisen asteen yhtälön kaavaa: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
- Laske diskriminantti: \(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 1\)
- Kaksi reaaliratkaisua: \(x_1 = 3.0000\), \(x_2 = 2.0000\)
Diskriminantti
\(\Delta = 1\)
Huippu
\((2.5000, -0.2500)\)
Teoria ja kaava
Toisen asteen yhtälö on polynomiyhtälö, jonka aste on 2. Sen yleinen muoto on ax² + bx + c = 0, missä a ≠ 0.
Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa ratkaisut mille tahansa toisen asteen yhtälölle. Diskriminantti (b² − 4ac) määrää juurien luonteen:
- Δ > 0: Kaksi erillistä reaalijuurta
- Δ = 0: Yksi reaalijuuri (kaksinkertainen juuri)
- Δ < 0: Kaksi kompleksista konjugaattijuurta
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Laskettuja esimerkkejä
Yksi reaalinen nollakohta (kaksinkertainen)
\(x^2 - 4x + 4 = 0 \rightarrow x = 2\): Yksi reaalijuuri (kaksinkertainen juuri)
Kompleksiset nollakohdat
\(x^2 + x + 1 = 0\): Kaksi kompleksista konjugaattijuurta
Ulkoinen oppimateriaali
Tutki toisen asteen yhtälöitä PhET:ssä
Avaa PhETin Graphing Quadratics -simulaatio vetääksesi kertoimien arvoja, nähdäksesi nollakohdat ja huipun ja vahvistaaksesi intuitiosi.
PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder