Kaksi reaalista nollakohtaa
\(x^2 - 5x + 6 = 0 \rightarrow x_1 = 3, x_2 = 2\)
Toisen asteen yhtälön ratkaisin
Ratkaise toisen asteen yhtälöt, joilla on reaaliset ja kompleksiset ratkaisut
Tutki paraabelia ax² + bx + c
Liu'uta säätimiä a, b, c. Katso, miten paraabeli siirtyy, skaalautuu ja kääntyy – ja miten sen nollakohdat ja huippu reagoivat.
Pikavalinnat
1.00
-3.003.00
-5.00
-10.0010.00
6.00
-10.0010.00
Ennusta, mitä tapahtuu
Mitä paraabelille tapahtuu, kun a muuttuu negatiiviseksi?
Liu'uta a arvosta 1 arvoon −1, kun b = 0, c = 4.
Huomaa
Diskriminantti Δ = b² − 4ac ratkaisee kaiken: positiivisena kaksi reaalista nollakohtaa, nollana yksi (kaksoiskerroin), negatiivisena ei reaalisia.
Yleinen virhe
Älä menetä etumerkkiä: kaavassa on −b, ei b. Merkki ± kuuluu neliöjuurelle, ei b:n eteen.
Miksi se toimii
Huippu on kohdassa x = −b / (2a) — symmetria-akseli. Reaaliset nollakohdat ovat huipusta etäisyydellä √Δ / (2a).
Käsitetarkistus
Jos diskriminantti b² − 4ac on positiivinen, kuinka monta reaalista juurta yhtälöllä on?
Tulokset
Lopullinen vastaus
\(x_1 = 3.0000\), \(x_2 = 2.0000\)
Vaiheittainen ratkaisu
- Annettu yhtälö: \(1.00x^2 -5.00x + 6.00 = 0\)
- Käytetään toisen asteen yhtälön kaavaa: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
- Laske diskriminantti: \(\Delta = -5.00^2 - 4(1.00)(6.00) = 1.00\)
- Kaksi reaaliratkaisua: \(x_1 = 3.0000\), \(x_2 = 2.0000\)
Diskriminantti
\(\Delta = 1.00\)
Huippu
\((2.50, -0.25)\)
Teoria ja kaava
Toisen asteen yhtälö on polynomiyhtälö, jonka aste on 2. Sen yleinen muoto on ax² + bx + c = 0, missä a ≠ 0.
Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa ratkaisut mille tahansa toisen asteen yhtälölle. Diskriminantti (b² − 4ac) määrää juurien luonteen:
- Δ > 0: Kaksi erillistä reaalijuurta
- Δ = 0: Yksi reaalijuuri (kaksinkertainen juuri)
- Δ < 0: Kaksi kompleksista konjugaattijuurta
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Laskettuja esimerkkejä
Yksi reaalinen nollakohta (kaksoiskerroin)
\(x^2 - 4x + 4 = 0 \rightarrow x = 2\) (double root)
Kompleksiset nollakohdat
\(x^2 + x + 1 = 0 \rightarrow\) complex
Ulkoinen oppimateriaali
Tutki toisen asteen yhtälöitä PhET:ssä
Avaa PhETin Graphing Quadratics -simulaatio vetääksesi kerroin-arvoja, nähdäksesi nollakohdat ja huipun ja vahvistaaksesi intuitiosi.
PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder