Exponentialverteilungs-Rechner

Theorie & Formel

Theorie

Die Exponentialverteilung modelliert die Zeit zwischen Ereignissen in einem Poisson-Prozess, bei dem Ereignisse kontinuierlich und unabhängig mit einer konstanten durchschnittlichen Rate λ auftreten. Sie wird weit verbreitet in der Zuverlässigkeitstechnik, Warteschlangentheorie und Überlebensanalyse verwendet.

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF)

\(f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}\)

Kumulative Verteilungsfunktion (CDF)

\(F(x; \lambda) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}\)

Eigenschaften

Mittelwert (μ): \(\mu = \frac{1}{\lambda}\)

Varianz (σ²): \(\sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}\)

Standardabweichung (σ): \(\sigma = \frac{1}{\lambda}\)

Median: \(\frac{\ln(2)}{\lambda}\)

Gedächtnislosigkeit

Die Exponentialverteilung besitzt die besondere Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in den nächsten t Zeiteinheiten auftritt, ist unabhängig davon, wie viel Zeit bereits vergangen ist.

\(P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\)

Beispiel

Wenn Kunden mit einer Rate von λ = 0,5 pro Minute ankommen, beträgt die durchschnittliche Zeit zwischen den Ankünften 1/0,5 = 2 Minuten. Die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Kunde innerhalb von 3 Minuten ankommt, ist F(3) = 1 - e^(-0,5×3) ≈ 0,777 oder 77,7 %

Ergebnisse

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Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF)

Kumulative Verteilungsfunktion (CDF)

Eigenschaften

Gedächtnislosigkeit

Beispiel

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