Münzwurf-Beispiel
\(n=10, p=0.5, k=7 \rightarrow P(7) \approx 11.7\%\)
Binomialverteilung
Berechnen Sie Binomialwahrscheinlichkeiten und kumulative Wahrscheinlichkeiten
Erkunde die Binomialverteilung
Bewege n (Versuche), p (Erfolgswahrscheinlichkeit) und k (das hervorgehobene Ereignis). Der Balken bei k wird grün; der Rest bleibt grau.
Schnellauswahl
10
150
0.50
0.001.00
5
010
Sage voraus, was passiert
Wie unterscheidet sich der Balkenchart bei p ≈ 0,5 gegenüber p ≈ 0,05 mit gleichem n?
Wechsle zwischen den Voreinstellungen „Faire Münze" und „Seltenes Ereignis" und beobachte die Form.
Beachte
Der Mittelwert ist np: bei p = 0,5 und n = 10 liegt das Maximum bei k = 5; bei p = 0,7 und n = 20 verschiebt es sich auf ≈ 14. Die Varianz wächst mit n und ist bei p = 0,5 maximal.
Häufiger Fehler
P(X = k) ist nicht dasselbe wie P(X ≤ k). Das Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsfunktion (genau k); kumulative Wahrscheinlichkeiten summieren die Balken von 0 bis k.
Warum es funktioniert
Jeder Versuch ist eine unabhängige Bernoulli-Ziehung. Die Multiplikation p^k mit (1 − p)^(n − k) ergibt die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Reihenfolge; der Binomialkoeffizient zählt, wie viele Reihenfolgen genau k Erfolge ergeben.
Verständnisfrage
Welche dieser Situationen passt tatsächlich zum Binomialmodell?
Ergebnisse
Endergebnis
\(P(X = 5) = 24.61\%\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
- Gegeben: \(n = 10\), \(p = 0.50\), \(k = 5\)
- Binomialkoeffizient: \(\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!\,(10-5)!} = 252\)
- Binomial-PMF: \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}\)
- Einsetzen und berechnen: \(P(X=5) = 252 \times 0.50^{5} \times 0.50^{5} = 0.246094\)
P(X ≤ 5)
62.30%
P(X ≥ 5)
62.30%
Mittelwert / σ
μ = 5.00, σ = 1.58
Binomialverteilung
Die Binomialverteilung zählt die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl n unabhängiger Bernoulli-Versuche, jeweils mit derselben Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Es gilt, wenn alle vier Bedingungen erfüllt sind:
- Eine feste Anzahl von Versuchen n.
- Jeder Versuch hat nur zwei Ausgänge (Erfolg / Misserfolg).
- Alle Versuche sind unabhängig.
- Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist für jeden Versuch gleich.
Verteilungsparameter: \(\mu = np\), \(\sigma^2 = np(1-p)\), \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
Gelöste Beispiele
Qualitätskontroll-Beispiel
\(n=20, p=0.1, k=2 \rightarrow P(2) \approx 28.5\%\)