Beispiel 1
\(r = 3, h = 4 \rightarrow l = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, V = \frac{1}{3}\pi(3^2)(4) \approx 37.70\) units³, \(SA = \pi(3^2) + \pi(3)(5) \approx 75.40\) units²
Kegel-Rechner
Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche eines Kegels aus Radius und Höhe
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Theorie & Formel
Ein Kegel ist eine dreidimensionale Form mit einer kreisförmigen Basis, die sich gleichmäßig zu einem Punkt verjüngt, der als Spitze oder Scheitel bezeichnet wird. Das Volumen eines Kegels beträgt genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit derselben Basis und Höhe.
Die Oberfläche besteht aus der Grundfläche (πr²) und der Mantelfläche (πrl), wobei l die Mantellinie ist – der Abstand von der Spitze zu einem beliebigen Punkt am Rand des Kreises. Die Mantellinie kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden: l = √(r² + h²).
Eigenschaften und Anwendungen
- Volumen des Kegels = 1/3 × Volumen des Zylinders mit gleicher Basis und Höhe
- Die Mantellinie ist immer größer als die senkrechte Höhe
- Beim Abrollen bildet die Mantelfläche einen Kreissektor
- Wird verwendet zur Berechnung der Volumina von Eistüten, Verkehrskegeln, Trichtern und konischen Strukturen
- Ein Kegel mit der Spitze direkt über dem Mittelpunkt der Basis ist ein gerader Kreiskegel
\(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h, SA = \pi r^2 + \pi rl, l = \sqrt{r^2 + h^2}\)
Gelöste Beispiele
Beispiel 2
\(r = 5, h = 12 \rightarrow l = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13, V = \frac{1}{3}\pi(5^2)(12) \approx 314.16\) units³, \(SA = \pi(5^2) + \pi(5)(13) \approx 282.74\) units²
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