Beispiel 1: Bestimmen der Hypotenuse
\(a = 3, b = 4 \rightarrow c^2 = 9 + 16 = 25 \rightarrow c = 5\)
Satz des Pythagoras
Finden Sie fehlende Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken mit dem Satz des Pythagoras
Erkunden Sie das rechtwinklige Dreieck
Bewegen Sie die Schieberegler, um die Katheten zu ändern, und sehen Sie zu, wie sich die Hypotenuse live aktualisiert. Wählen Sie eine Voreinstellung, um zu einem berühmten pythagoreischen Tripel zu springen.
Schnellauswahl
3.00
1.0030.00
4.00
1.0030.00
Sagen Sie voraus, was passiert
Was passiert mit der Hypotenuse, wenn Sie die Kathete a verdoppeln und b unverändert lassen?
Bewegen Sie den a-Schieberegler von 3 auf 6 und beobachten Sie c.
Beachten Sie
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite. Egal welche Kathete Sie vergrößern, c wächst mit – wegen der Quadratwurzel aber langsamer.
Häufiger Fehler
Das Quadrat der Summe ist nicht die Summe der Quadrate: (a + b)² ≠ a² + b². Der Satz des Pythagoras addiert zuerst die Quadrate und zieht dann die Wurzel.
Warum es funktioniert
Stellen Sie sich auf jeder Seite des rechtwinkligen Dreiecks ein Quadrat vor. Die Flächen der beiden Kathetenquadrate ergeben zusammen genau die Fläche des Hypotenusenquadrats – das ist die Aussage von a² + b² = c².
Verständnisfrage
Welche Seite ist im rechtwinkligen Dreieck immer die längste?
Ergebnisse
Endergebnis
Die Hypotenuse beträgt \(c = 5.00\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
- Der Satz des Pythagoras besagt: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Gegeben: \(a = 3\) und \(b = 4\)
- In die Formel einsetzen: \(3^2 + 4^2 = c^2\)
- Berechnen: \(9 + 16 = c^2\)
- Daraus folgt: \(c^2 = 25\)
- Quadratwurzel ziehen: \(c = \sqrt{25} = 5.00\)
Theorie & Formel
Der Satz des Pythagoras ist ein grundlegendes Prinzip der Geometrie, das die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zueinander in Beziehung setzt. Er besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse (der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite) gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist.
Dieser Satz gilt nur für rechtwinklige Dreiecke (Dreiecke mit einem 90-Grad-Winkel). Die Hypotenuse ist stets die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Häufige pythagoreische Tripel
- 3, 4, 5
- 5, 12, 13
- 8, 15, 17
- 7, 24, 25
- 9, 40, 41
\(a^2 + b^2 = c^2\)
Gelöste Beispiele
Beispiel 2: Bestimmen einer Kathete
\(b = 8, c = 10 \rightarrow a^2 = 100 - 64 = 36 \rightarrow a = 6\)
Externe Lernressource
Selbst in GeoGebra konstruieren
Öffnen Sie das GeoGebra-Geometriewerkzeug, um Punkte zu verschieben, rechtwinklige Dreiecke zu zeichnen und den Satz visuell zu überprüfen.
GeoGebra (geogebra.org)
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