MathCalcLab

Rechner für fixpunktfreie Permutationen

Berechnen Sie die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen und untersuchen Sie die Subfakultät.

Geben Sie eine Zahl zwischen 0 und 20 ein, um die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen zu berechnen. Das sind Permutationen, bei denen kein Element an seiner ursprünglichen Position steht.

Ergebnisse

Geben Sie Werte ein und klicken Sie auf Berechnen, um das Ergebnis zu sehen.

Theorie & Formel

Theorie der fixpunktfreien Permutationen

Eine fixpunktfreie Permutation ist eine Permutation, bei der kein Element an seiner ursprünglichen Position erscheint. Die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen von n Elementen wird mit !n bezeichnet (Subfakultät von n).

Wichtige Formeln

Reihenformel: \(!n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}\)
Rekursive Formel: \(!n = (n-1)(!(n-1) + !(n-2)) \quad(n \ge 2),\quad !0=1,\quad !1=0\)
Näherung: \(!n \sim \frac{n!}{e} \quad(n \to \infty)\)

Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Permutation fixpunktfrei ist, nähert sich 1/e ≈ 36,8 %, wenn n zunimmt.

\(\lim_{n \to \infty} \frac{!n}{n!} = \frac{1}{e} \approx 0.367879\)

Anwendungen

Das Garderobenproblem: n Personen geben ihre Hüte ab, und die Hüte werden zufällig zurückgegeben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass niemand seinen eigenen Hut zurückbekommt? Antwort: !n/n! ≈ 1/e.

Beispiel

Für n=3: !3 = 2. Die Permutationen [2,3,1] und [3,1,2] sind die einzigen fixpunktfreien Permutationen von [1,2,3].

Verwandte Rechner

Kombinationen & Permutationen

Kombinationen, Permutationen und Fakultäten berechnen

Catalan-Zahlen-Rechner

Berechnen Sie Catalan-Zahlen mit Anwendungen in Kombinatorik und Binärbäumen

Binomialkoeffizient-Rechner

Berechnen Sie Binomialkoeffizienten C(n,k) mit Pascal-Dreieck-Visualisierung und Eigenschaften

Rechner für fixpunktfreie Permutationen | MathCalcLab | MathCalcLab