Kombinationen
\(C(5,2) = 10\) — Wähle 2 aus 5: {AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE}
Kombinatorik-Rechner
Berechnen Sie Kombinationen C(n,r), Permutationen P(n,r) und Fakultäten n! mit detaillierten Erklärungen und Schritt-für-Schritt-Lösungen
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Kombinatorik
Die Kombinatorik ist die Mathematik des Zählens. Sie hilft, Fragen wie „Auf wie viele Arten?“ und „Wie viele Möglichkeiten?“ zu beantworten.
Formeln:
- Fakultät: \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\), \(0! = 1\)
- Permutationen: \(P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}\) — Anordnungen, bei denen die Reihenfolge eine Rolle spielt
- Kombinationen: \(C(n,r) = \frac{n!}{r! \times (n-r)!}\) — Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt
Wesentliche Unterschiede:
- Kombinationen: Verwenden, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt (Teams, Gruppen, Auswahlen)
- Permutationen: Verwenden, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt (Rangfolgen, Anordnungen, Sequenzen)
- Fakultät: Verwenden für die Gesamtzahl der Anordnungen aller Elemente
Anwendungen:
- Wahrscheinlichkeitsberechnungen
- Passwort- und Codemöglichkeiten
- Turnierpläne und Spielpläne
- Kartenspiele und Lotteriewahrscheinlichkeiten
- Genetik und DNA-Sequenzen
Gelöste Beispiele
Permutationen
\(P(5,2) = 20\) — Anordnung 2 aus 5: AB, BA, AC, CA, AD, DA, … (Reihenfolge spielt eine Rolle)
Fakultät
\(5! = 120\) — Möglichkeiten, 5 Elemente anzuordnen: \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\)