Binomialkoeffizient-Rechner
Berechnen Sie Binomialkoeffizienten C(n,k) mit Pascal-Dreieck-Visualisierung und Eigenschaften
Berechne C(n,k) = "n über k"
Ergebnisse
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Theorie & Formel
Theorie
Binomialkoeffizienten repräsentieren die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen. Sie erscheinen im Pascal-Dreieck und im binomischen Lehrsatz.
Formel
\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Die Anzahl der k-Kombinationen aus einer Menge von n Elementen
Eigenschaften
Symmetrie: \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)
Pascal-Identität: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)
Zeilensumme: \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n\)
Basisfälle: \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\)
Binomischer Lehrsatz
\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)
Binomialkoeffizienten sind die Koeffizienten in der Entwicklung von (a+b)ⁿ
Beispiel
Auf wie viele Arten können Sie 2 Elemente aus 5 Elementen auswählen?
\(\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10\)