5 aus 10 wählen
\(\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!\,5!} = 252\)
Binomialkoeffizient-Rechner
Berechnen Sie Binomialkoeffizienten C(n,k) mit Pascal-Dreieck-Visualisierung und Eigenschaften
Erkunden Sie C(n, k)
Bewegen Sie n und k. Die Zeile des Pascal-Dreiecks für n ist unten zu sehen; die k-te Zelle ist grün hervorgehoben.
Schnellauswahl
5
060
2
05
Pascalsches Dreieck, Zeile 5
C(5, 0)
1
C(5, 1)
5
C(5, 2)
10
C(5, 3)
10
C(5, 4)
5
C(5, 5)
1
Sagen Sie voraus, was passiert
Warum gilt C(n, k) = C(n, n−k) immer?
Probieren Sie n = 8 und wechseln Sie k zwischen 3 und 5.
Symmetrie
C(n, k) = C(n, n−k). Die Zeile des Pascal-Dreiecks ist symmetrisch zu ihrer Mitte.
Häufiger Fehler
Reihenfolge zählt: C(n, k) zählt ungeordnete Kombinationen. Wenn die Reihenfolge wichtig ist, verwenden Sie Permutationen P(n, k) = n! / (n−k)!.
Warum es funktioniert
Es gibt n! Möglichkeiten, alle n Elemente in einer Reihe anzuordnen. Dividieren durch k! (für die Ausgewählten) und (n−k)! (für die Übrigen) entfernt die Anordnungen, die die ausgewählten Elemente nicht ändern, und liefert die ungeordnete Anzahl.
Ergebnisse
Endergebnis
\(\binom{5}{2} = 10\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
- Berechnen Sie den Binomialkoeffizienten \(\binom{5}{2}\)
- Formel \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
- Werte einsetzen \(\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = 10\)
Binomialkoeffizient
C(n, k) — gelesen „n über k“ — ist die Anzahl der Möglichkeiten, k ungeordnete Elemente aus einer Menge von n auszuwählen. Er liefert auch den Koeffizienten von x^k in der Entwicklung (1 + x)^n.
Symmetrie: \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)
Pascalsche Regel: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)
\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Gelöste Beispiele
Lotto (6 aus 49)
\(\binom{49}{6} = 13{,}983{,}816\)