Erste zehn Glieder
\(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34\)
Fibonacci-Folgen-Rechner
Berechnen Sie Fibonacci-Zahlen mit Verbindung zum Goldenen Schnitt und Folgenvisualisierung
Erkunden Sie die Fibonacci-Folge
Bewegen Sie n, um die Folge wachsen zu lassen. Das Balkendiagramm zeigt F₀ bis F_n; das Verhältnis F_n / F_{n-1} konvergiert gegen den Goldenen Schnitt φ.
Schnellauswahl
10
050
Sagen Sie voraus, was passiert
Wogegen konvergiert F_n / F_{n-1}, wenn n wächst?
Beobachten Sie den Hinweis, während Sie n von 5 auf 30 schieben.
Goldener Schnitt
Das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen nähert sich φ ≈ 1.618034. φ ist die positive Lösung von x² = x + 1 — dieselbe Rekursion, der die Folge folgt.
Häufiger Fehler
F_0 = 0 und F_1 = 1. Manche Quellen beginnen mit F_1 = 1, F_2 = 1; prüfen Sie die Indizierung, bevor Sie Antworten vergleichen.
Warum es funktioniert
Jedes Glied ist die Summe der beiden vorhergehenden — eine doppelt rekursive Definition. Das iterative Vorwärtssummieren vermeidet den exponentiell wachsenden Aufwand der naiven Rekursion.
Ergebnisse
Endergebnis
\(F_{10} = 55\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
- Bestimmen Sie das Fibonacci-Glied \(F_{10}\)
- Rekursive Formel \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2},\quad F_0 = 0,\, F_1 = 1\)
- Ergebnis \(F_{10} = 55\)
F_{n} / F_{n-1} = 1.617647 (Goldener Schnitt φ ≈ 1.618034)
Fibonacci-Folge
Die Fibonacci-Folge ist definiert durch F_0 = 0, F_1 = 1 und F_n = F_{n-1} + F_{n-2} für n ≥ 2. Sie taucht in der Natur (Sonnenblumenspiralen, Tannenzapfen, Nautilus-Schalen) und in Algorithmen (Fibonacci-Heaps, dynamische Programmierung) auf.
Binet-Formel (geschlossene Form): \(F_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}\)
\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)
Gelöste Beispiele
Grenzwert des Goldenen Schnitts
\(\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n-1}} = \varphi \approx 1.618034\)