Erste zehn Glieder
\(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34\)
Fibonacci-Folgen-Rechner
Berechnen Sie Fibonacci-Zahlen mit Verbindung zum Goldenen Schnitt und Folgenvisualisierung
Erkunde die Fibonacci-Folge
Bewege n, um die Folge wachsen zu lassen. Das Balkendiagramm zeigt F₀ bis F_n; das Verhältnis F_n / F_{n-1} konvergiert gegen den goldenen Schnitt φ.
Schnellauswahl
10
050
Sage voraus, was passiert
Wogegen konvergiert F_n / F_{n-1}, wenn n wächst?
Beobachte den Hinweis, während du n von 5 auf 30 schiebst.
Goldener Schnitt
Das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen nähert sich φ ≈ 1.618034. φ ist die positive Wurzel von x² = x + 1 — dieselbe Rekursion, der die Folge folgt.
Häufiger Fehler
F_0 = 0 und F_1 = 1. Manche Quellen beginnen mit F_1 = 1, F_2 = 1; prüfe die Indizierung, bevor du Antworten vergleichst.
Warum es funktioniert
Jedes Glied ist die Summe der beiden vorhergehenden — eine doppelt rekursive Definition. Das iterative Vorwärtssummieren vermeidet die exponentielle Sprengung der naiven Rekursion.
Ergebnisse
Endergebnis
\(F_{10} = 55\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
- Finde Fibonacci-Term \(F_{10}\)
- Rekursive Formel \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2},\quad F_0 = 0,\, F_1 = 1\)
- Ergebnis \(F_{10} = 55\)
calculators.combinatorics.fibonacci.explore.ratioCallout
Fibonacci-Folge
Die Fibonacci-Folge ist definiert durch F_0 = 0, F_1 = 1 und F_n = F_{n-1} + F_{n-2} für n ≥ 2. Sie taucht in der Natur (Sonnenblumenspiralen, Tannenzapfen, Nautilus-Schalen) und in Algorithmen (Fibonacci-Heaps, dynamische Programmierung) auf.
Binet-Formel (geschlossene Form): \(F_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}\)
\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)
Gelöste Beispiele
Grenzwert des goldenen Schnitts
\(\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n-1}} = \varphi \approx 1.618033\)