Folgen & Reihen

Berechnen Sie arithmetische und geometrische Folgen und Reihen

Ergebnisse

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Folgen sind geordnete Listen von Zahlen. Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge.

Arithmetische Folgen:

Jedes Glied unterscheidet sich um eine Konstante \((d)\)
Formel für das n-te Glied: \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
Summe der ersten n Glieder: \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]\) oder \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
Lineares Wachstumsverhalten

Geometrische Folgen:

Jedes Glied wird mit einer Konstanten multipliziert \((r)\)
Formel für das n-te Glied: \(a_n = a_1 \times r^{n-1}\)
Summe der ersten n Glieder: \(S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}\) falls \(r \neq 1\)
Konvergiert gegen \(S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}\) falls \(|r| < 1\)
Exponentielles Wachstums-/Zerfallsverhalten

Arithmetische Folge: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) Geometrische Folge: \(a_n = a_1r^{n-1}\)

Arithmetisch

\(2, 5, 8, 11, \ldots \rightarrow d = 3, a_{10} = 29\)

Geometrisch (konvergent)

\(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots \rightarrow r = \frac{1}{2}, S_\infty = 2\)

Geometrisch (divergent)

\(1, 2, 4, 8, \ldots \rightarrow r = 2\), Die unendliche Reihe divergiert.