Rotationsvolumen-Rechner
Berechnen Sie Volumina von Rotationskörpern, die durch Rotation von Kurven um Achsen entstehen, mit Scheiben- und Zylinderschalenmethode
Beispiele: sqrt(x), x^2, sin(x), exp(x). ln(x) ist der natürliche Logarithmus, log(x) der Zehnerlogarithmus. Für Kreisringe muss 0 ≤ r(x) ≤ R(x) gelten; Zylinderschalen erfordern x ≥ 0 und f(x) ≥ 0 im gesamten Intervall.
Ergebnisse
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Theorie & Formel
Rotationsvolumen
Wenn eine Kurve um eine Achse rotiert wird, entsteht ein dreidimensionaler Körper. Das Volumen kann mit der Scheibenmethode oder der Zylinderschalenmethode berechnet werden.
Scheibenmethode
Verwendet beim Rotieren einer durch f(x) und die x-Achse begrenzten Fläche. Jeder Querschnitt ist eine Scheibe.
\(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx\)Kreisringmethode
Verwendet beim Rotieren einer Fläche zwischen zwei Funktionen. Jeder Querschnitt ist ein Kreisring (Scheibe mit Loch).
\(V = \pi \int_a^b ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) \, dx\)Zylinderschalenmethode
Verwendet beim Rotieren um eine vertikale Achse. Jede Zylinderschale hat den Radius x und die Höhe f(x).
\(V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx\)Beispiel
Berechnen Sie das Volumen, wenn y = √x von x=0 bis x=4 um die x-Achse rotiert wird:
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