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Bestimmtes Integral-Rechner

Berechnen Sie bestimmte Integrale numerisch mit Riemann-Summen-Visualisierung und Fläche unter der Kurve

Geben Sie Funktion mit x als Variable ein. Unterstützt: +, -, *, /, ^, sin, cos, tan, exp, ln, sqrt, abs

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Theory & Formula

Theorie

Ein bestimmtes Integral ∫[a,b] f(x) dx stellt die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen der Kurve f(x) und der x-Achse von x=a bis x=b dar. Es hat Anwendungen in der Physik (Arbeit, Entfernung), Wahrscheinlichkeit (kumulative Verteilung) und vielen anderen Bereichen.

Fundamentalsatz der Analysis

\(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)

Wobei F(x) eine beliebige Stammfunktion von f(x) ist. Dies verbindet Differentiation und Integration.

Trapezregel

\(\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right]\)

Approximiert die Fläche mit Trapezen. Genauer mit größerem n.

Simpson-Regel

\(\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4\sum_{i=1,3,5}^{n-1} f(x_i) + 2\sum_{i=2,4,6}^{n-2} f(x_i) + f(b) \right]\)

Approximiert mit parabolischen Bögen. Allgemein genauer als Trapezregel.

Beispiel

Berechnen Sie ∫[0,2] x² dx mit dem Fundamentalsatz:

\(\int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = 2.667\)

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