Potenzregel
\(\frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2\)
Ableitungsrechner
Berechnen Sie Ableitungen mit Schritt-für-Schritt-Lösungen und Regeln
Erkunde die Ableitung
Gib eine Funktion in x ein oder wähle eine Voreinstellung. Die blaue Kurve ist f(x), die grüne f'(x), und die rote Tangente ist im Schiebewert für x verankert.
1.00
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Verwende x als Variable. Beispiele: x^3 - 3*x, sin(x), exp(x), 1/x.
Häufige Funktionen
Sage voraus, was passiert
Wo ist f'(x) gleich null bei x³ − 3x?
f'(x) = 3x² − 3. Setze gleich null und löse.
Tangente in x₀
Die rote Gerade durch (x₀, f(x₀)) mit Steigung f'(x₀) ist die beste lineare Näherung von f in der Nähe von x₀. Sie ist der Grenzwert der Sekanten, wenn der zweite Punkt nach x₀ rutscht.
Häufiger Fehler
Verwechsle f(x) (blau) nicht mit der Ableitung f'(x) (grün). Wo die blaue Kurve steil ist, liegt die grüne weit von null entfernt; wo sie flach ist, kreuzt die grüne die Null.
Warum es funktioniert
f'(x₀) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten (f(x₀+h) − f(x₀)) / h für h → 0. Die Tangente ersetzt die Kurve lokal durch dieses lineare Verhalten.
Ergebnisse
Endergebnis
\(f'(x) = 3 * x ^ 2 - 3\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
- Funktion \(f(x) = x ^ 3 - 3 * x\)
- Ergebnisse zusammenfassen \(f'(x) = 3 * x ^ 2 - 3\)
- Bei x = 1, \(f(1) = -2\), \(f'(1) = 0\)
Theorie & Formel
Die Ableitung misst die Änderungsrate einer Funktion an einem gegebenen Punkt. Sie entspricht der Steigung der Tangente an die Funktion in diesem Punkt.
Häufige Ableitungsregeln:
- Potenzregel: \(\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}\)
- Konstantenregel: \(\frac{d}{dx}[c] = 0\)
- Summenregel: \(\frac{d}{dx}[f + g] = f' + g'\)
- Produktregel: \(\frac{d}{dx}[fg] = f'g + fg'\)
- Trigonometrisch: \(\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x\)
- Exponential: \(\frac{d}{dx}[e^x] = e^x\)
Gelöste Beispiele
Trigonometrisch
\(\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x\)
Exponential
\(\frac{d}{dx}[e^x] = e^x\)
Externe Lernressource
GeoGebra-Grafikrechner öffnen
Möchtest du eine Funktion zeichnen, die wir nicht symbolisch vereinfachen (z. B. tan, Produkte, Verkettungen)? GeoGebras kostenloser Grafikrechner kann das und lässt dich Punkte entlang der Kurve verschieben.
GeoGebra (geogebra.org)
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