Potenzregel auf einer Parabel
\(\int_0^2 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.667\)
Integralrechner
Berechnen Sie unbestimmte und bestimmte Integrale mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Erkunde das bestimmte Integral
Gib eine Funktion in x ein oder wähle eine Voreinstellung, dann ziehe die untere (a) und obere (b) Grenze. Der schattierte Bereich unter f(x) ist die vorzeichenbehaftete Fläche, gleich F(b) − F(a).
0.00
-10.0010.00
2.00
-10.0010.00
Polynome, sin/cos/exp mit linearen Argumenten und 1/x werden unterstützt. Verwende x als Variable.
Häufige Integrale
Sage voraus, was passiert
Was passiert mit ∫ₐᵇ f(x) dx, wenn du a und b vertauschst?
Versuche bei der Parabel-Voreinstellung a = 2, b = 0, dann a = 0, b = 2.
Vorzeichenbehaftete Fläche
Das Integral ist die VORZEICHENBEHAFTETE Fläche zwischen Kurve und x-Achse: Bereiche unterhalb tragen negativ bei. Wenn f(x) auf [a, b] immer positiv ist, entspricht das Integral der geometrischen Fläche.
Häufiger Fehler
Vergiss bei unbestimmten Integralen die Integrationskonstante C nicht. Bei bestimmten Integralen kürzt sich C — F(b) − F(a) ist unabhängig von C.
Warum es funktioniert (HFC)
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet Differentiation und Integration: Wenn F'(x) = f(x), dann ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Integration akkumuliert die Veränderung; Differentiation misst die Änderungsrate.
Ergebnisse
Endergebnis
\(\int_{0}^{2} x ^ 2 \,dx = 2.666667\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
- Bestimmtes Integral: \(\int_{0}^{2} x ^ 2 \,dx\)
- Finde die Stammfunktion termweise:
- ∫ \(x ^ 2\) dx = \(x ^ 3 / 3\)
- Stammfunktion: \(F(x) = x ^ 3 / 3 + C\)
- Wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an: \(F(2) - F(0) = 2.666667 - (0) = 2.666667\)
Unbestimmte Stammfunktion: \(\int x ^ 2 \,dx = x ^ 3 / 3 + C\)
Theorie & Formel
Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation. Sie liefert die Stammfunktion einer Funktion und entspricht der Fläche unter einer Kurve.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Wenn F eine Stammfunktion von f auf [a, b] ist, dann gilt ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Differentiation hebt die Integration auf; Integration akkumuliert die durch Differentiation gemessene Veränderung.
\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Gelöste Beispiele
Sinus über eine halbe Periode
\(\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = -\cos(x)\Big|_0^{\pi} = 2\)