Arithmetisch
\(1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\)
Reihen-Rechner
Berechnen Sie die Konvergenz von unendlichen Reihen und Partialsummen
Ergebnisse
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Theorie & Formel
Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge. Verschiedene Reihentypen besitzen unterschiedliche Eigenschaften und Summenformeln.
Häufige Reihentypen:
- Arithmetisch: S_n = (n/2)(2a + (n−1)d), wobei a das erste Glied und d die Differenz ist
- Geometrisch: S_n = a(1−r^n)/(1−r), wobei a das erste Glied und r der Quotient ist
- Unendliche geometrische Reihe: S = a/(1−r) für |r| < 1 (konvergent)
- Potenzsummen: ∑n = n(n+1)/2, ∑n² = n(n+1)(2n+1)/6
- Harmonische Reihe: ∑1/n divergiert (wächst unbeschränkt)
\(S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i\)
Gelöste Beispiele
Geometrisch
\(1 + r + r^2 + \cdots = \frac{1}{1-r}, \quad |r| < 1\)
Potenzsumme
\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Arithmetische Formel
\(S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\)