Sinus (Maclaurin)
\(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\)
Taylor-Reihen
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Theorie & Formel
Eine Taylor-Reihe stellt eine Funktion als unendliche Summe von Termen dar, die aus den Ableitungen der Funktion an einem einzelnen Punkt berechnet werden. Wird sie an x = 0 entwickelt, spricht man von einer Maclaurin-Reihe.
Wichtige Eigenschaften:
- Polynomielle Näherung: Taylor-Reihen approximieren glatte Funktionen durch Polynome
- Konvergenz: Die Reihe konvergiert innerhalb des Konvergenzradius
- Restglied: R_n = f^(n+1)(c)(x−a)^(n+1)/(n+1)! für ein c zwischen a und x
- Anwendungen: in der numerischen Analysis, Physik und Ingenieurwissenschaft zur Approximation
- Wichtige Reihen: sin(x), cos(x), e^x, ln(1+x), (1+x)^n besitzen einfache Taylor-Entwicklungen
\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\)
Gelöste Beispiele
Kosinus (Maclaurin)
\(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\)
Exponentialfunktion (Maclaurin)
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
Natürlicher Logarithmus
\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\)