Beispiel 1
\(f(x,y) = xy \to \frac{\partial f}{\partial x} = y, \frac{\partial f}{\partial y} = x\)
Partielle Ableitungen
Berechnen Sie partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer Variablen
Ergebnisse
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Theorie & Formel
Partielle Ableitungen geben an, wie sich eine Funktion mehrerer Variablen bezüglich einer Variablen ändert, während die anderen konstant gehalten werden.
- \(\frac{\partial f}{\partial x}\): die partielle Ableitung von f nach x – die Änderungsrate in x-Richtung bei festgehaltenem y.
- \(\frac{\partial f}{\partial y}\): die partielle Ableitung von f nach y – die Änderungsrate in y-Richtung bei festgehaltenem x.
- Gradient: \(\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})\) ist der Vektor der partiellen Ableitungen und zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs.
- Anwendungen: Optimierung, Gradientenabstieg, mehrdimensionale Analysis, Physik (Elektromagnetismus, Strömungsmechanik) und maschinelles Lernen.
\(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\)
Gelöste Beispiele
Beispiel 2
\(f(x,y) = x^2y \to \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy, \frac{\partial f}{\partial y} = x^2\)
Beispiel 3
\(f(x,y) = x^3y^2 \to \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y\)