Höhere Ableitungen
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Theorie & Formel
Höhere Ableitungen stellen die Änderungsrate der Änderungsrate dar. Die zweite Ableitung misst die Krümmung, die dritte Ableitung misst die Änderungsrate der Krümmung, und so weiter.
Notation
Für höhere Ableitungen existieren mehrere Notationen:
Zweite Ableitung (Krümmung):
\(f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)\)Dritte Ableitung (Ruck in der Physik):
\(f'''(x) = \frac{d^3f}{dx^3}\)n-te Ableitung:
\(f^{(n)}(x) = \frac{d^nf}{dx^n}\)Anwendungen
- Die zweite Ableitung der Position ergibt in der Physik die Beschleunigung
- Die zweite Ableitung bestimmt die Krümmung von Funktionen (positiv = nach oben konkav)
- Die dritte Ableitung hilft, Wendepunkte zu finden
- Höhere Ableitungen werden in Taylor-Reihenentwicklungen verwendet
Beispiel
Für f(x) = x⁴:
\(f(x) = x^4\)\(f'(x) = 4x^3\)\(f''(x) = 12x^2\)\(f'''(x) = 24x\)\(f^{(4)}(x) = 24\)\(f^{(5)}(x) = 0\)