Kubischer Gleichungslöser
Lösen Sie kubische Gleichungen ax³ + bx² + cx + d = 0 mit Cardanos Formel für reelle und komplexe Wurzeln
Kubische Gleichungsform: \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)
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Theorie & Formel
Theorie
Eine kubische Gleichung ist eine Polynomgleichung dritten Grades. Jede kubische Gleichung hat genau drei Wurzeln (mit Vielfachheiten), die alle reell oder eine reelle und zwei komplexe Konjugierte sein können. Die Diskriminante bestimmt die Art der Wurzeln.
Diskriminante
- • Wenn Δ > 0: Drei verschiedene reelle Wurzeln
- • Wenn Δ = 0: Mindestens zwei Wurzeln sind gleich
- • Wenn Δ < 0: Eine reelle und zwei komplexe konjugierte Wurzeln
Cardanos Formel
Cardanos Formel (benannt nach Gerolamo Cardano, 16. Jahrhundert) bietet eine analytische Methode zur Lösung kubischer Gleichungen. Die Methode beinhaltet die Umwandlung der allgemeinen kubischen Gleichung in eine „reduzierte kubische“ (ohne x²-Term) und dann die Anwendung der Formel.
Beispiel
Löse x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
Lösung: x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3 (drei verschiedene reelle Wurzeln)
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