Rechner für kubische Gleichungen
Lösen Sie kubische Gleichungen ax³ + bx² + cx + d = 0 mit der Cardanischen Formel für reelle und komplexe Lösungen
Form der kubischen Gleichung: \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)
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Theorie & Formel
Theorie
Eine kubische Gleichung ist eine Polynomgleichung dritten Grades. Jede kubische Gleichung hat genau drei Lösungen (mit Vielfachheiten): entweder drei reelle Lösungen oder eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen. Die Diskriminante bestimmt die Art der Lösungen.
Diskriminante
- • Wenn Δ > 0: Drei verschiedene reelle Lösungen
- • Wenn Δ = 0: Mindestens zwei Lösungen sind gleich
- • Wenn Δ < 0: Eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen
Cardanische Formel
Die Cardanische Formel (benannt nach Gerolamo Cardano, 16. Jahrhundert) bietet eine algebraische Methode zur Lösung kubischer Gleichungen. Dabei wird die allgemeine kubische Gleichung in eine reduzierte kubische Gleichung (ohne x²-Term) umgewandelt und anschließend die Formel angewendet.
Beispiel
Lösen Sie x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
Lösung: x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3 (drei verschiedene reelle Lösungen)
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