Zwei reelle Nullstellen
\(x^2 - 5x + 6 = 0 \rightarrow x_1 = 3, x_2 = 2\)
Rechner für quadratische Gleichungen
Lösen Sie quadratische Gleichungen mit reellen und komplexen Lösungen
Erkunden Sie die Parabel ax² + bx + c
Bewegen Sie die Schieberegler für a, b, c. Beobachten Sie, wie sich die Parabel verschiebt, skaliert oder spiegelt – und wie sich Nullstellen und Scheitelpunkt ändern.
Schnellauswahl
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Sagen Sie voraus, was passiert
Was passiert mit der Parabel, wenn a negativ wird?
Bewegen Sie a von 1 auf −1 bei b = 0 und c = 4.
Beachten Sie
Für a ≠ 0 bestimmt die Diskriminante Δ = b² − 4ac die Nullstellen: positiv bedeutet zwei verschiedene reelle Nullstellen, null eine doppelte reelle Nullstelle und negativ keine reellen Nullstellen.
Häufiger Fehler
Vergessen Sie das Vorzeichen nicht: in der Formel steht −b, nicht b. Das ± gehört zur Wurzel, nicht zum Vorzeichen von b.
Warum es funktioniert
Für a ≠ 0 liegt der Scheitelpunkt bei x = −b/(2a). Bei Δ ≥ 0 hat jede reelle Nullstelle den Abstand √Δ/(2|a|) von dieser Achse.
Verständnisfrage
Wie viele reelle Nullstellen hat die Gleichung für a ≠ 0, wenn die Diskriminante b² − 4ac positiv ist?
Ergebnisse
Endergebnis
\(x_1 = 3.0000\), \(x_2 = 2.0000\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
- Gegebene Gleichung: \(1.0000x^2 -5.0000x + 6.0000 = 0\)
- Mit der quadratischen Lösungsformel: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
- Diskriminante berechnen: \(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 1\)
- Zwei reelle Lösungen: \(x_1 = 3.0000\), \(x_2 = 2.0000\)
Diskriminante
\(\Delta = 1\)
Scheitelpunkt
\((2.5000, -0.2500)\)
Theorie & Formel
Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades der allgemeinen Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0.
Die quadratische Lösungsformel liefert die Lösung(en) jeder quadratischen Gleichung. Die Diskriminante (b² − 4ac) bestimmt die Art der Lösungen:
- Δ > 0: Zwei verschiedene reelle Lösungen
- Δ = 0: Eine reelle Lösung (Doppellösung)
- Δ < 0: Zwei konjugiert komplexe Lösungen
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Gelöste Beispiele
Eine reelle Nullstelle (doppelt)
\(x^2 - 4x + 4 = 0 \rightarrow x = 2\): Eine reelle Lösung (Doppellösung)
Komplexe Nullstellen
\(x^2 + x + 1 = 0\): Zwei konjugiert komplexe Lösungen
Externe Lernressource
Quadratische Funktionen in PhET erkunden
Öffnen Sie PhETs Simulation „Graphing Quadratics“, um Koeffizienten zu ziehen, Nullstellen und Scheitelpunkt zu sehen und Ihre Intuition zu prüfen.
PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder