Zwei reelle Nullstellen
\(x^2 - 5x + 6 = 0 \rightarrow x_1 = 3, x_2 = 2\)
Quadratische Gleichungslöser
Lösen Sie quadratische Gleichungen mit reellen und komplexen Lösungen
Erkunde die Parabel ax² + bx + c
Bewege die Schieberegler für a, b, c. Beobachte, wie sich die Parabel verschiebt, skaliert oder spiegelt – und wie sich Nullstellen und Scheitelpunkt ändern.
Schnellauswahl
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Sage voraus, was passiert
Was passiert mit der Parabel, wenn a negativ wird?
Bewege a von 1 auf −1 bei b = 0 und c = 4.
Beachte
Die Diskriminante Δ = b² − 4ac entscheidet alles: positiv ergibt zwei reelle Nullstellen, null genau eine (doppelte), negativ keine reelle.
Häufiger Fehler
Vergiss das Vorzeichen nicht: in der Formel steht −b, nicht b. Das ± gehört zur Wurzel, nicht zum Vorzeichen von b.
Warum es funktioniert
Der Scheitelpunkt liegt bei x = −b / (2a) – die Symmetrieachse. Reelle Nullstellen liegen symmetrisch dazu im Abstand √Δ / (2a).
Verständnisfrage
Wenn die Diskriminante b² − 4ac positiv ist — wie viele reelle Lösungen hat die Gleichung?
Ergebnisse
Endergebnis
\(x_1 = 3.0000\), \(x_2 = 2.0000\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
- Gegebene Gleichung: \(1.00x^2 -5.00x + 6.00 = 0\)
- Mit der quadratischen Formel: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
- Diskriminante berechnen: \(\Delta = -5.00^2 - 4(1.00)(6.00) = 1.00\)
- Zwei reelle Lösungen: \(x_1 = 3.0000\), \(x_2 = 2.0000\)
Diskriminante
\(\Delta = 1.00\)
Scheitelpunkt
\((2.50, -0.25)\)
Theorie & Formel
Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades der allgemeinen Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0.
Die quadratische Lösungsformel liefert die Lösung(en) jeder quadratischen Gleichung. Die Diskriminante (b² − 4ac) bestimmt die Art der Wurzeln:
- Δ > 0: Zwei verschiedene reelle Lösungen
- Δ = 0: Eine reelle Lösung (Doppellösung)
- Δ < 0: Zwei konjugiert komplexe Lösungen
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Gelöste Beispiele
Eine reelle Nullstelle (doppelt)
\(x^2 - 4x + 4 = 0 \rightarrow x = 2\) (double root)
Komplexe Nullstellen
\(x^2 + x + 1 = 0 \rightarrow\) complex
Externe Lernressource
Quadratische Funktionen in PhET erkunden
Öffne PhETs Simulation "Graphing Quadratics", um Koeffizienten zu ziehen, Nullstellen und Scheitelpunkt zu sehen und deine Intuition zu prüfen.
PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder