コイン投げの例
\(n=10, p=0.5, k=7 \rightarrow P(7) \approx 11.7\%\)
二項分布
二項確率および累積確率を計算
二項分布を探検しよう
n (試行回数)、p (成功確率)、k (強調する結果) を動かそう。k の棒は緑になり、残りは灰色のまま。
クイック設定
10
150
0.50
0.001.00
5
010
何が起こるか予想してみよう
n が同じで p ≈ 0.5 と p ≈ 0.05 のとき、棒グラフはどう違う?
プリセット「公正なコイン」と「稀な事象」を切り替えて、形を観察してみよう。
気づこう
平均は np: p = 0.5, n = 10 ならピークは k = 5、p = 0.7, n = 20 ならピークは ≈ 14 に移る。分散は n とともに増え、p = 0.5 で最大になる。
よくある誤り
P(X = k) は P(X ≤ k) と同じではない。グラフは PMF (ちょうど k) を示す。累積確率は 0 から k までの棒を合計したもの。
なぜ成り立つの
各試行は独立なベルヌーイ試行。p^k に (1 − p)^(n − k) を掛けると特定の順序の確率になり、二項係数はちょうど k 個の成功を生む順序の数を数える。
理解度チェック
次のうち、二項モデルに当てはまるのはどれ?
結果
最終答え
\(P(X = 5) = 24.61\%\)
ステップバイステップの解法
- 与式: \(n = 10\), \(p = 0.50\), \(k = 5\)
- 二項係数: \(\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!\,(10-5)!} = 252\)
- 二項分布の PMF: \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}\)
- 代入して計算: \(P(X=5) = 252 \times 0.50^{5} \times 0.50^{5} = 0.246094\)
P(X ≤ 5)
62.30%
P(X ≥ 5)
62.30%
平均 / σ
μ = 5.00, σ = 1.58
二項分布
二項分布は、固定回数 n の独立なベルヌーイ試行 (各々成功確率 p) における成功回数を数える。
次の 4 つの条件がすべて満たされるとき適用できる:
- 試行回数 n が固定。
- 各試行は 2 つの結果しかない (成功か失敗)。
- すべての試行は独立。
- 成功確率 p はどの試行でも同じ。
分布のパラメータ: \(\mu = np\), \(\sigma^2 = np(1-p)\), \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
解説付き例題
品質管理の例
\(n=20, p=0.1, k=2 \rightarrow P(2) \approx 28.5\%\)