置換なし計算機
置換なし（固定点のない置換）の数を計算し、サブファクトリアル関数を解析します。
0から20の間の数値を入力して置換なしの数を計算してください。置換なしとは、どの要素も元の位置に現れない置換のことです。
結果
値を入力して、計算をクリックすると結果が表示されます。
理論と公式
置換理論
置換とは、どの要素も元の位置に現れない順列のことです。n 個の要素の置換の数は !n（n のサブファクトリアル）で表されます。
主要な公式
級数の公式: \(!n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}\)
漸化式: \(!n = (n-1)(!(n-1) + !(n-2))\)
近似値: \(!n \approx \frac{n!}{e}\) for large n
確率
ランダムな置換が完全置換（ダランジュマン）である確率は、nが大きくなるにつれて1/e ≈ 36.8%に近づきます。
\(\lim_{n \to \infty} \frac{!n}{n!} = \frac{1}{e} \approx 0.367879\)
応用例
帽子預かり問題：n人が帽子を預け、帽子がランダムに返されます。誰も自分の帽子を受け取らない確率は？答え：!n/n! ≈ 1/e。
例
n=3の場合：!3 = 2。置換[2,3,1]と[3,1,2]が[1,2,3]の唯一の完全置換です。