完全順列計算機
完全順列（固定点を持たない順列）の数と、その確率を計算します。
0から20までの整数を入力してください。完全順列では、どの要素も元の位置に残りません。
結果
値を入力して、計算をクリックすると結果が表示されます。
理論と公式
完全順列の理論
完全順列とは、どの要素も元の位置に残らない順列です。n個の要素の完全順列の個数を !n（サブファクトリアル）で表します。
主要な公式
級数の公式: \(!n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}\)
漸化式: \(!n = (n-1)(!(n-1) + !(n-2)) \quad(n \ge 2),\quad !0=1,\quad !1=0\)
近似値: \(!n \sim \frac{n!}{e} \quad(n \to \infty)\)
確率
無作為に選んだ順列が完全順列である確率は、nが大きくなるにつれて1/e ≈ 36.8%に近づきます。
\(\lim_{n \to \infty} \frac{!n}{n!} = \frac{1}{e} \approx 0.367879\)
応用例
帽子預かり問題：n人が帽子を預け、帽子がランダムに返されます。誰も自分の帽子を受け取らない確率は？答え：!n/n! ≈ 1/e。
例
n=3の場合、!3 = 2です。[1,2,3]の完全順列は[2,3,1]と[3,1,2]の2通りです。