二項係数計算機
パスカルの三角形の可視化と性質を用いて二項係数 C(n,k) を計算する
C(n,k) = 「n 個から k 個を選ぶ組み合わせ」を計算する
結果
値を入力して、計算をクリックすると結果が表示されます。
理論と公式
理論
二項係数は、順序を考慮せずに n 個の中から k 個を選ぶ方法の数を表します。これらはパスカルの三角形や二項定理に現れます。
公式
\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
n 個の要素から k 個を選ぶ組み合わせの数
性質
対称性: \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)
パスカルの恒等式: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)
行の和: \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n\)
基本の場合: \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\)
二項定理
\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)
二項係数は (a+b)ⁿ の展開における係数です
例
5つのアイテムから2つを選ぶ方法はいくつありますか？
\(\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10\)