10 から 5 を選ぶ
\(\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!\,5!} = 252\)
二項係数計算機
パスカルの三角形の可視化と性質を用いて二項係数 C(n,k) を計算する
C(n, k) を探検しよう
n と k を動かそう。下にパスカルの三角形の n 行目が表示され、k 番目のセルが緑で強調される。
クイック設定
5
060
2
05
パスカルの三角形 5 行目
C(5, 0)
1
C(5, 1)
5
C(5, 2)
10
C(5, 3)
10
C(5, 4)
5
C(5, 5)
1
何が起こるか予想してみよう
なぜ C(n, k) = C(n, n−k) は常に成り立つ?
n = 8 で k を 3 と 5 で切り替えてみよう。
対称性
C(n, k) = C(n, n−k)。パスカルの三角形の行は中央に対して左右対称。
よくある誤り
順序が重要かどうか: C(n, k) は順序を区別しない組み合わせを数える。順序が重要なら順列 P(n, k) = n! / (n−k)! を使う。
なぜ成り立つの
n 個全部を並べる方法は n! 通り。k! (選んだ側) と (n−k)! (残り側) で割ると、選択を変えない並べ方が打ち消され、順序を区別しない個数が残る。
結果
最終答え
\(\binom{5}{2} = 10\)
ステップバイステップの解法
- 二項係数を計算する \(\binom{5}{2}\)
- 公式 \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
- 値を代入する \(\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = 10\)
二項係数
C(n, k) (「n choose k」と読む) は、n 個の集合から k 個を順序を区別せずに選ぶ方法の数。また (1 + x)^n の展開における x^k の係数でもある。
対称性: \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)
パスカルの法則: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)
\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
解説付き例題
宝くじ (49 から 6)
\(\binom{49}{6} = 13{,}983{,}816\)