フィボナッチ数列計算機

黄金比との関連と数列の可視化によるフィボナッチ数の計算

n を動かして数列を伸ばそう。棒グラフは F₀ から F_n まで表示し、比 F_n / F_{n-1} は黄金比 φ に収束する。

クイック設定

項のインデックス n

050

何が起こるか予想してみよう

n が大きくなると F_n / F_{n-1} は何に近づく?

n を 5 から 30 まで動かしながらコールアウトを観察してみよう。

黄金比

連続するフィボナッチ数の比は φ ≈ 1.618034 に近づく。φ は x² = x + 1 の正の解であり、数列が従う漸化式と同じ。

よくある誤り

F_0 = 0 と F_1 = 1。F_1 = 1, F_2 = 1 から始める資料もあるので、答えを比べる前にインデックスの慣習を確認しよう。

なぜ成り立つの

各項は直前 2 項の和 — 二重に再帰的な定義。前向きに反復して足していけば、素朴な再帰の指数爆発を避けられる。

結果

最終答え

\(F_{10} = 55\)

calculators.combinatorics.fibonacci.explore.ratioCallout

フィボナッチ数列は F_0 = 0, F_1 = 1, n ≥ 2 のとき F_n = F_{n-1} + F_{n-2} で定義される。自然界 (ヒマワリの渦、松ぼっくり、オウムガイの殻) やアルゴリズム (フィボナッチヒープ、動的計画法) に現れる。

ビネの公式 (閉じた形): \(F_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}\)

\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)

最初の 10 項

\(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34\)

黄金比の極限

\(\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n-1}} = \varphi \approx 1.618033\)