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数列と級数

等差数列および等比数列と級数を計算する

各項に加える定数

結果

値を入力して、計算をクリックすると結果が表示されます。

理論と公式

数列とは順序付けられた数の並びです。級数とは、数列の項の和のことです。

等差数列:

  • 各項の差が一定 \((d)\)
  • nth term: \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
  • Sum: \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]\) or \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
  • 線形的な増加パターン

等比数列:

  • 各項に一定の数を掛ける \((r)\)
  • nth term: \(a_n = a_1 \times r^{n-1}\)
  • Sum: \(S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}\) for \(r \neq 1\)
  • 収束先 \(S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}\) 条件 \(|r| < 1\)
  • 指数的な増加・減少パターン
\(\text{Arithmetic: } a_n = a_1 + (n-1)d \quad | \quad \text{Geometric: } a_n = a_1r^{n-1}\)

解説付き例題

等差

\(2, 5, 8, 11, \ldots \rightarrow d = 3, a_{10} = 29\)

等比(収束)

\(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots \rightarrow r = \frac{1}{2}, S_\infty = 2\)

等比(発散)

\(1, 2, 4, 8, \ldots \rightarrow r = 2\), diverges
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