実数解 2 つ
\(x^2 - 5x + 6 = 0 \rightarrow x_1 = 3, x_2 = 2\)
二次方程式ソルバー
実数および複素数解を持つ二次方程式を解きます
放物線 ax² + bx + c を探検しよう
a, b, c のスライダーを動かして、放物線が平行移動・拡大縮小・反転する様子と、解と頂点がどう反応するかを観察しよう。
クイック設定
1.00
-3.003.00
-5.00
-10.0010.00
6.00
-10.0010.00
何が起こるか予想してみよう
a が負になると、放物線はどう変わる?
b = 0, c = 4 のまま、a を 1 から −1 まで動かしてみよう。
気づこう
判別式 Δ = b² − 4ac がすべてを決める: 正なら実数解が 2 つ、0 なら 1 つ (重解)、負なら実数解はなし。
よくある誤り
符号を落とさないように。公式は −b であって、b ではない。± は平方根に付くもので、b の前ではない。
なぜ成り立つの
頂点は x = −b / (2a) — 対称軸の上にある。実数解は頂点から √Δ / (2a) ずつ離れて対称に並ぶ。
理解度チェック
判別式 b² − 4ac が正なら、方程式は実数解をいくつ持つ?
結果
最終答え
\(x_1 = 3.0000\), \(x_2 = 2.0000\)
ステップバイステップの解法
- 与えられた方程式： \(1.00x^2 -5.00x + 6.00 = 0\)
- 二次方程式の解の公式を使用： \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
- 判別式を計算： \(\Delta = -5.00^2 - 4(1.00)(6.00) = 1.00\)
- 実数解が二つ： \(x_1 = 3.0000\), \(x_2 = 2.0000\)
判別式
\(\Delta = 1.00\)
頂点
\((2.50, -0.25)\)
理論と公式
二次方程式は次数2の多項式方程式で、一般形は ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）です。
二次方程式の解の公式は、任意の二次方程式の解を与えます。判別式 (b² - 4ac) が解の性質を決定します：
- Δ > 0: 異なる2つの実数解
- Δ = 0: 1つの実数解（重根）
- Δ < 0: 共役な2つの複素数解
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
解説付き例題
実数解 1 つ (重解)
\(x^2 - 4x + 4 = 0 \rightarrow x = 2\) (double root)
複素数の解
\(x^2 + x + 1 = 0 \rightarrow\) complex
外部の教育リソース
PhET で二次関数を探検しよう
PhET の Graphing Quadratics シミュレーションを開いて、係数をドラッグし、解や頂点を確かめて自分の直感を検証しよう。
PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder