Exemple : pile ou face
\(n=10, p=0.5, k=7 \rightarrow P(7) \approx 11.7\%\)
Distribution binomiale
Calculer les probabilités binomiales et les probabilités cumulées
Explore la loi binomiale
Fais glisser n (essais), p (probabilité de succès) et k (l'issue à mettre en évidence). La barre en k devient verte ; le reste de la PMF reste en gris.
Préréglages rapides
10
150
0.50
0.001.00
5
010
Prédisez ce qui va se passer
À quoi ressemble le diagramme en barres avec p ≈ 0,5 par rapport à p ≈ 0,05 pour le même n ?
Bascule entre les préréglages « Pièce équitable » et « Événement rare » et observe la forme.
Remarque
La moyenne est np : avec p = 0,5 et n = 10, le pic est en k = 5 ; avec p = 0,7 et n = 20, il se déplace vers ≈ 14. La variance croît avec n et est maximale en p = 0,5.
Erreur courante
P(X = k) n'est pas la même chose que P(X ≤ k). Le graphique affiche la PMF (exactement k) ; les probabilités cumulées somment les barres de 0 à k.
Pourquoi cela fonctionne
Chaque essai est un tirage de Bernoulli indépendant. Multiplier p^k par (1 − p)^(n − k) donne la probabilité d'une séquence spécifique ; le coefficient binomial compte le nombre de séquences donnant exactement k succès.
Vérification du concept
Laquelle de ces situations correspond réellement au modèle binomial ?
Résultats
Réponse finale
\(P(X = 5) = 24.61\%\)
Solution étape par étape
- Soit : \(n = 10\), \(p = 0.50\), \(k = 5\)
- Coefficient binomial : \(\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!\,(10-5)!} = 252\)
- PMF binomiale : \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}\)
- Substitue et calcule : \(P(X=5) = 252 \times 0.50^{5} \times 0.50^{5} = 0.246094\)
P(X ≤ 5)
62.30%
P(X ≥ 5)
62.30%
Moyenne / σ
μ = 5.00, σ = 1.58
Loi binomiale
La loi binomiale compte le nombre de succès parmi un nombre fixé n d'essais de Bernoulli indépendants, chacun avec la même probabilité de succès p.
S'applique quand les quatre conditions sont remplies :
- Un nombre fixé d'essais n.
- Chaque essai n'a que deux issues (succès / échec).
- Tous les essais sont indépendants.
- La probabilité de succès p est la même pour chaque essai.
Paramètres de la loi : \(\mu = np\), \(\sigma^2 = np(1-p)\), \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
Exemples Résolus
Exemple de contrôle qualité
\(n=20, p=0.1, k=2 \rightarrow P(2) \approx 28.5\%\)