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Calculateur de dérangements

Calculez le nombre de dérangements (permutations sans points fixes) et analysez la fonction sous-factorielle.

Entrez un nombre entre 0 et 20 pour calculer les dérangements. Les dérangements sont des permutations où aucun élément n'apparaît à sa position d'origine.

Résultats

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Théorie & Formule

Théorie des dérangements

Un dérangement est une permutation où aucun élément n'apparaît à sa position d'origine. Le nombre de dérangements de n éléments est noté !n (sous-factorielle de n).

Formules clés

Formule de la série: \(!n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}\)
Formule récursive: \(!n = (n-1)(!(n-1) + !(n-2))\)
Approximation: \(!n \approx \frac{n!}{e}\) for large n

Probabilité

La probabilité qu'une permutation aléatoire soit un dérangement tend vers 1/e ≈ 36,8 % lorsque n augmente.

\(\lim_{n \to \infty} \frac{!n}{n!} = \frac{1}{e} \approx 0.367879\)

Applications

Le problème du vestiaire : n personnes déposent leurs chapeaux, qui sont ensuite rendus au hasard. Quelle est la probabilité qu'aucune personne ne récupère son propre chapeau ? Réponse : !n/n! ≈ 1/e.

Exemple

Pour n=3 : !3 = 2. Les permutations [2,3,1] et [3,1,2] sont les seuls dérangements de [1,2,3].

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