Esimerkki 1: Hypotenuusan löytäminen
\(a = 3, b = 4 \rightarrow c^2 = 9 + 16 = 25 \rightarrow c = 5\)
Pythagoraan lause
Etsi puuttuvat sivun pituudet suorakulmaisissa kolmioissa Pythagoraan lauseen avulla
Tutki suorakulmaista kolmiota
Vedä liukusäätimiä muuttaaksesi kateettien pituuksia ja katso, miten hypotenuusa päivittyy reaaliajassa. Valitse esiasetus hypätäksesi tunnettuun pythagoraan kolmikkoon.
Pikavalinnat
3.00
1.0020.00
4.00
1.0020.00
Ennusta, mitä tapahtuu
Mitä tapahtuu hypotenuusalle, jos tuplaat kateetin a ja pidät b:n ennallaan?
Liu'uta a-liukusäädintä 3:sta 6:een ja seuraa c:tä.
Huomaa
Hypotenuusa on aina pisin sivu. Kumpaa tahansa kateettia kasvatat, c kasvaa mukana – mutta neliöjuuren takia hitaammin.
Yleinen virhe
Summan neliö ei ole sama kuin neliöiden summa: (a + b)² ≠ a² + b². Pythagoraan lause laskee ensin neliöt ja vasta sitten ottaa juuren.
Miksi se toimii
Kuvittele jokaiselle suorakulmaisen kolmion sivulle neliö. Kahden kateettineliön pinta-alat ovat yhdessä täsmälleen hypotenuusaneliön pinta-ala – juuri tätä a² + b² = c² sanoo.
Käsitetarkistus
Mikä sivu on suorakulmaisessa kolmiossa aina pisin?
Tulokset
Lopullinen vastaus
Hypotenuusan pituus on \(c = 5.00\)
Vaiheittainen ratkaisu
- Pythagoraan lause sanoo: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Annettu: \(a = 3.00\) ja \(b = 4.00\)
- Sijoita kaavaan: \(3.00^2 + 4.00^2 = c^2\)
- Laske: \(9.00 + 16.00 = c^2\)
- Siten: \(c^2 = 25.00\)
- Otetaan neliöjuuri: \(c = \sqrt{25.00} = 5.00\)
Teoria ja kaava
Pythagoraan lause on geometrian peruslause, joka liittää suorakulmaisen kolmion sivut toisiinsa. Se sanoo, että hypotenuusan (suoraa kulmaa vastapäätä olevan sivun) neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa.
Tämä lause pätee vain suorakulmaisiin kolmioihin (kolmioihin, joissa on yksi 90 asteen kulma). Hypotenuusa on aina pisin sivu ja sijaitsee suoraa kulmaa vastapäätä.
Yleiset Pythagoraan kolmikot
- 3, 4, 5
- 5, 12, 13
- 8, 15, 17
- 7, 24, 25
- 9, 40, 41
\(a^2 + b^2 = c^2\)
Laskettuja esimerkkejä
Esimerkki 2: Kateetin löytäminen
\(b = 8, c = 10 \rightarrow a^2 = 100 - 64 = 36 \rightarrow a = 6\)
Ulkoinen oppimateriaali
Rakenna oma GeoGebrassa
Avaa GeoGebran geometriatyökalu vetääksesi pisteitä, rakentaaksesi suorakulmaisia kolmioita ja tarkistaaksesi lauseen visuaalisesti.
GeoGebra (geogebra.org)
Aiheeseen liittyvät laskimet
Kolmion pinta-alan laskin
Laske kolmion pinta-ala käyttäen kantaa ja korkeutta yksityiskohtaisen vaiheittaisen ratkaisun kanssa
Neliölaskuri
Laske neliön pinta-ala, piiri ja lävistäjä sivun pituuden avulla yksityiskohtaisen vaiheittaisen ratkaisun kanssa
Suorakulmion pinta-alan laskin
Laske suorakulmion pinta-ala ja piiri käyttäen pituutta ja leveyttä yksityiskohtaisella vaihe vaiheelta -ratkaisulla