Valitse 5 / 10
\(\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!\,5!} = 252\)
Binomikerroinlaskin
Laske binomikertoimet C(n,k) Pascalin kolmion visualisoinnilla ja ominaisuuksilla
Tutki C(n, k):ta
Liu'uta n:ää ja k:ta. Pascalin kolmion rivi n näkyy alla; k:s solu on korostettu vihreällä.
Pikavalinnat
5
060
2
05
Pascalin kolmio, rivi 5
C(5, 0)
1
C(5, 1)
5
C(5, 2)
10
C(5, 3)
10
C(5, 4)
5
C(5, 5)
1
Ennusta, mitä tapahtuu
Miksi C(n, k) = C(n, n−k) pätee aina?
Kokeile n = 8 ja vaihtele k:ta välillä 3 ja 5.
Symmetria
C(n, k) = C(n, n−k). Pascalin kolmion rivi peilautuu keskikohdan ympäri.
Yleinen virhe
Järjestys ratkaisee: C(n, k) laskee järjestämättömät kombinaatiot. Jos järjestys on merkitsevä, käytä permutaatioita P(n, k) = n! / (n−k)!.
Miksi se toimii
Kaikki n elementtiä voi järjestää n! tavalla. Jakaminen k!:lla (valittujen) ja (n−k)!:lla (jäljellä jäävien) poistaa järjestykset, jotka eivät muuta valintaa, ja jää jäljelle järjestämättömien lukumäärä.
Tulokset
Lopullinen vastaus
\(\binom{5}{2} = 10\)
Vaiheittainen ratkaisu
- Laske binomikerroin \(\binom{5}{2}\)
- Kaava \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
- Korvaa arvot \(\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = 10\)
Binomikerroin
C(n, k) — luetaan "n yli k" — on tapojen lukumäärä, joilla voidaan valita k järjestämätöntä alkiota n alkion joukosta. Se on myös x^k:n kerroin lausekkeessa (1 + x)^n.
Symmetria: \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)
Pascalin sääntö: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)
\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Laskettuja esimerkkejä
Lotto (6 / 49)
\(\binom{49}{6} = 13{,}983{,}816\)